弹簧分离问题

题目

一根劲度系数为 $k$ 的轻质弹簧直立在水平地面上，下端固定。在弹簧上端连接一个质量为 $m_{B}$ 的物块 B。在物块 B 正上方叠放一个质量为 $m_{A}$ 的物块 A。系现用力向下压物块 A，使弹簧压缩量变为 $x_{0}$ 。随后由静止释放，A、B 向上弹起并在运动过程中分离。

规定弹簧原长处为坐标原点并选取向上为正方向。规定坐标原点为重力势能零点。已知重力加速度为 $g$ ，不计空气阻力。

A、B 两物块在何处分离？
为保证 A、B 在运动过程中发生分离，下压距离 $x_{0}$ 应满足什么条件？
分别求出物块 A 的动能最大值、重力势能最大值、机械能最大值及其对应的位置 $y$ 与数值。
分别求出物块 B 的动能最大值、重力势能最大值、机械能最大值及其对应的位置 $y$ 与数值。

$y = 0$
$x_{0} \geq \frac{2 (m_{a} + m_{b}) g}{k}$

【解析】

分离位置

分离瞬间 A、B 间正压力 $N = 0$ ，且两者加速度相同。

对 A 分析： $- m_{A} g = m_{A} a ⟹ a = - g$ 。
对 B 分析： $F_{弹} - m_{B} g = m_{B} a$

由于 $a = - g$ ，代入 B 的方程得： $F_{弹} = 0$ .

由弹力公式 $F_{弹} = k y$ 可知，分离位置 $y_{分}$ 满足 $k y_{分} = 0$ 。

结论：分离位置在弹簧原长处，即 $y_{分} = 0$ 。

分离条件

A、B 发生分离的临界点是弹簧回到原长（ $y = 0$ ）。若要在此处分离，系统到达原长时的速度 $v$ 必须大于或等于零。

设 $M = m_{A} + m_{B}$ 。

根据胡克定律，弹簧的弹力 $F$ 与形变量 $x$ 成正比，即 $F = k x$ 。在弹簧从压缩 $x_{0}$ 恢复到原长的过程中，弹力 $F$ 随位移线性减小：

初始位置（压缩 $x_{0}$ ）：弹力 $F_{1} = k x_{0}$
末位置（原长）：弹力 $F_{2} = 0$

由于弹力随位移均匀变化，我们可以用平均力 $\bar{F}$ 来计算弹力做的功：

\bar{F} = \frac{F_{1} + F_{2}}{2} = \frac{k x_{0} + 0}{2} = \frac{1}{2} k x_{0}

弹力方向向上，位移方向向上，大小均为 $x_{0}$ ，则弹力做的功为： $W_{F} = \bar{F} \cdot x_{0} = (\frac{1}{2} k x_{0}) \cdot x_{0} = \frac{1}{2} k x_{0}^{2}$

根据功与能的关系，弹力做的功等于弹性势能的减少量（ $W_{F} = E_{p 1} - E_{p 2}$ ）。若规定原长处势能为 0，则弹簧压缩 $x$ 时的弹性势能为： $E_{p} = \frac{1}{2} k x^{2}$

根据系统机械能守恒（从释放点 $- x_{0}$ 到原长 $0$ ）：

$E_{初} = E_{末}$ (由 $E_{p, 弹} + E_{p, 重力} + E_{k}$ 组成)

\frac{1}{2} k x_{0}^{2} + M g (- x_{0}) = \frac{1}{2} M v^{2} + 0

或者根据动能定理 $W_{合} = Δ E_{k}$ ：

W_{F_{弹}} + W_{G} = \frac{1}{2} M v_{分}^{2} - 0

\frac{1}{2} k x_{0}^{2} - M g x_{0} = \frac{1}{2} M v_{分}^{2}

若要分离，系统必须能到达原长位置，即到达原长时的速度 $v_{分} \geq 0$ 。由此得： $\frac{1}{2} k x_{0}^{2} \geq M g x_{0}$

解得： $x_{0} \geq \frac{2 (m_{A} + m_{B}) g}{k}$ 。

物块 A 的极值计算

分离点处速度平方为： $v_{分}^{2} = \frac{k x_{0}^{2} - 2 M g x_{0}}{M}$ 。

最大动能 $E_{k A, m a x}$ ：
出现在合力为零处，即系统平衡位置 $y = - \frac{M g}{k}$ 。此时系统总动能为 $E_{k} = \frac{1}{2} k x_{0}^{2} - M g x_{0} + \frac{M^{2} g^{2}}{2 k}$ 。
位置： $y = - \frac{M g}{k}$
数值： $E_{k A, m a x} = \frac{m_{A}}{M} (\frac{1}{2} k x_{0}^{2} - M g x_{0} + \frac{M^{2} g^{2}}{2 k})$
最大重力势能 $E_{p A, m a x}$ ：
出现在 A 竖直上抛的最高点。
$y_{H A} = \frac{v_{分}^{2}}{2 g} = \frac{k x_{0}^{2} - 2 M g x_{0}}{2 M g}$ 。
位置： $y = \frac{k x_{0}^{2}}{2 M g} - x_{0}$
数值： $E_{p A, m a x} = \frac{m_{A} (k x_{0}^{2} - 2 M g x_{0})}{2 M}$
最大机械能 $E_{A, m a x}$ ：
对 A 而言，除了重力外，只有 B 对 A 的支持力 $N$ 做功。
在分离前（ $y < 0$ ）， $N > 0$ 且方向向上，位移向上，故 $N$ 做正功，A 的机械能持续增加。
在分离后（ $y \geq 0$ ）， $N = 0$ ，A 仅受重力，机械能守恒。
位置： $y \in [0, \frac{k x_{0}^{2}}{2 M g} - x_{0}]$ （即从分离点到最高点的整个过程）
数值： $E_{A, m a x} = \frac{m_{A}}{2 M} (k x_{0}^{2} - 2 M g x_{0})$

物块 B 的极值计算

最大动能 $E_{k B, m a x}$ ：
出现在合力为零处，即系统平衡位置 $y = - \frac{M g}{k}$ 。此时系统总动能为 $E_{k} = \frac{1}{2} k x_{0}^{2} - M g x_{0} + \frac{M^{2} g^{2}}{2 k}$ 。
位置： $y = - \frac{M g}{k}$
数值： $E_{k B, m a x} = \frac{m_{B}}{M} (\frac{1}{2} k x_{0}^{2} - M g x_{0} + \frac{M^{2} g^{2}}{2 k})$
最大重力势能 $E_{p B, m a x}$ ：
出现在 B 向上运动的最高点。分离后 B 仅受重力和弹簧弹力，机械能守恒。
设最高点为 $y_{H B}$ ，则 $\frac{1}{2} m_{B} v_{分}^{2} = \frac{1}{2} k y_{H B}^{2} + m_{B} g y_{H B}$ 。
位置： $y = \frac{- m_{B} g + \sqrt{m_{B}^{2} g^{2} + k m_{B} v_{分}^{2}}}{k}$
数值： $E_{p B, m a x} = m_{B} g \cdot y_{H B}$
最大机械能 $E_{B, m a x}$ ：
根据功能原理，B 的机械能增量等于弹簧弹力做的功减去 A 对 B 压力做的功。
由于分离前 A、B 一起运动，在分离前（ $y < 0$ ），B 的机械能随位置 $y$ 的表达式为：
$E_{B} (y) = E_{k B} + m_{B} g y = \frac{m_{B}}{M} E_{k} + m_{B} g y$
将 $E_{k} = E - \frac{1}{2} k y^{2} - M g y$ 代入：
$\begin{aligned} E_{B} (y) & = \frac{m_{B}}{M} (E - \frac{1}{2} k y^{2} - M g y) + m_{B} g y \\ = \frac{m_{B}}{M} E - \frac{m_{B} k}{2 M} y^{2} \end{aligned}$
在 $y < 0$ 范围内，当 $y$ 越接近 $0$ ， $E_{B}$ 越大。
当 $y > 0$ 时，A 已离开。B 只受重力和弹簧拉力。弹簧拉力向下，位移向上，弹簧对 B 做负功，B 的机械能减小。
位置： $y = 0$
数值： $E_{B, m a x} = \frac{m_{B}}{2 M} (k x_{0}^{2} - 2 M g x_{0})$