子弹射击双木板问题

题目

该题来源于 2005-2006 年东北育才高一期末考试第 10 题。

题目图片

（多选）如图所示，在光滑的水平面上紧挨着放置两块长方形物块，一颗子弹（可视为质点）沿水平直线射穿物块 A 并停留在物块 B 中。设子弹在两物块内运动时所受阻力大小恒定。已知：A、B 两物块的质量分别为 $M_{\text{A}}$ 和 $M_{\text{B}}$，子弹的质量为 $m$，子弹进入物块 A 之前，其速度为 $v_0$。两物块分离时 A 已移动位移 $s_1$，此后 B 继续移动位移 $s_2$ 后子弹与物块 B 相对静止。物块 A 和 B 水平方向的长度均为 $L$。根据上述已知条件：

A. 可以求得物块 A 和 B 的最终速度 $v_{\text{A}}$ 和 $v_{\text{B}}$B. 可以求得子弹在物块 A 和 B 中相对运动的时间 $t_{\text{A}}$ 和 $t_{\text{B}}$C. 可以求得子弹在物块 B 内进入的深度 $d$D. 可以求得子弹在两物块内运动时所受阻力 $f$ 的大小

答案解析与推导过程

1. 物理模型与临界分析

• 第一阶段：子弹射穿 A
  子弹在 A 中移动时，受到向后的摩擦阻力 $f$，根据牛顿第三定律，子弹给物块 A 一个向前的摩擦力 $f$。由于 A、B 紧挨着，在 A 受到向前的力时，A、B 之间存在弹力，二者将作为一个整体一起向右做匀加速运动。
• 两物块分离的临界点：
  一旦子弹刚穿出 A、进入 B，子弹对 A 的向前作用力突然消失，而开始对 B 施加向前的作用力 $f$。此时，B 的加速度瞬间变大，而 A 在光滑水平面上不再受水平方向的合外力，加速度瞬间变为 $0$ 并开始做匀速运动。因此，“两物块分离”的瞬间正是“子弹刚好射穿 A、穿入 B”的时刻。
  • 在分离瞬间： 物块 A 与 B 具有相同的速度（记为 $v_1$）。此后 A 保持该速度做匀速运动，故 A 的最终速度为 $v_{\text{A}}=v_1$。此时两物块的对地位移均为 $s_1$。
• 第二阶段：子弹在 B 中运动
  分离后，B 继续在子弹施加的阻力 $f$ 作用下加速，位移为 $s_2$ 后子弹与物块 B 相对静止，共同速度为 $v_{\text{B}}$。

2. 列式推导与联立求解

（1）利用动量守恒定理：

• 从开始到分离瞬间（第一阶段）：
  对于子弹、A、B 整体，水平方向动量守恒：

  $$m{v}_0=(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})v_1+m{v}_2\text{--- (1)}$$

  (其中 $v_2$ 为分离瞬间子弹的速度)

• 从分离到最终相对静止（第二阶段）：
  对于子弹和物块 B 组成的系统，水平方向动量守恒：

  $$M_{\text{B}}{v}_1+m{v}_2=(M_{\text{B}}+m)v_{\text{B}}\text{--- (2)}$$

  将 (1) 式变形得到 $m{v}_2=m{v}_0-(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})v_1$，代入 (2) 式，消去未知量 $v_2$，可得：

  $$m{v}_0-M_{\text{A}}{v}_1=(M_{\text{B}}+m)v_{\text{B}}\text{--- (3)}$$

（2）利用动能定理引入位移关系：

• 对于 A、B 整体在第一阶段：
  根据动能定理，摩擦力对整体做正功：$$f{s}_1=\frac{1}{2}(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})v_1^2\text{--- (4)}$$
• 对于 B 在第二阶段：
  根据动能定理，摩擦力对 B 做正功：$$f{s}_2=\frac{1}{2}{M}_{\text{B}}{v}_{\text{B}}^2-\frac{1}{2}{M}_{\text{B}}{v}_1^2\text{--- (5)}$$

（3）求解最终速度 $v_{\text{A}}$ 与 $v_{\text{B}}$（选项 A 正确）： 联立式 (4) 和式 (5) 消去恒定阻力 $f$，可得：

$$\frac{M_{\text{A}}+M_{\text{B}}}{s_1}{v}_1^2=\frac{M_{\text{B}}}{s_2}(v_{\text{B}}^2-v_1^2)$$

变形可得 $v_{\text{B}}$ 与 $v_1$ 的比例关系：

$$v_{\text{B}}=\sqrt{1+\frac{s_2(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})}{s_1{M}_{\text{B}}}}\cdot v_1$$

为使表达式简洁，令无量纲比例常数 $k=\sqrt{1+\frac{s_2(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})}{s_1{M}_{\text{B}}}}$（$k$ 完全由已知量决定）。
则：

$$v_{\text{B}}=k{v}_1$$

将 $v_{\text{B}}=k{v}_1$ 代入式 (3)：

$$m{v}_0-M_{\text{A}}{v}_1=(M_{\text{B}}+m)k{v}_1⟹v_1=\frac{m{v}_0}{M_{\text{A}}+k(M_{\text{B}}+m)}$$

由此求得 A、B 的最终速度：

$$v_{\text{A}}=v_1=\frac{m{v}_0}{M_{\text{A}}+(M_{\text{B}}+m)\sqrt{1+\frac{s_2(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})}{s_1{M}_{\text{B}}}}}$$$$v_{\text{B}}=\frac{m{v}_0\sqrt{1+\frac{s_2(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})}{s_1{M}_{\text{B}}}}}{M_{\text{A}}+(M_{\text{B}}+m)\sqrt{1+\frac{s_2(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})}{s_1{M}_{\text{B}}}}}$$

（4）求解阻力 $f$ 的大小（选项 D 正确）： 将求出的 $v_1$ 带回式 (4)，即可得到阻力 $f$：

$$f=\frac{(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})m^2{v}_0^2}{2s_1{[M_{\text{A}}+(M_{\text{B}}+m)\sqrt{1+\frac{s_2(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})}{s_1{M}_{\text{B}}}}]}^2}$$

（5）求解相对运动时间 $t_{\text{A}}$ 与 $t_{\text{B}}$（选项 B 正确）： 由于阻力 $f$ 恒定，物块均在做匀变速直线运动，其平均速度等于初末速度之和的一半。

• 在物块 A 中运动的时间 $t_{\text{A}}$：$$t_{\text{A}}=\frac{2s_1}{v_1}=\frac{2s_1[M_{\text{A}}+(M_{\text{B}}+m)k]}{m{v}_0}$$
• 在物块 B 中运动的时间 $t_{\text{B}}$：$$t_{\text{B}}=\frac{2s_2}{v_1+v_{\text{B}}}=\frac{2s_2}{v_1(1+k)}=\frac{2s_2[M_{\text{A}}+(M_{\text{B}}+m)k]}{m{v}_0(1+k)}$$

（6）求解子弹在 B 中的深度 $d$（选项 C 正确）： 第二阶段中，子弹相对 B 运动的平均相对速度为 $\frac{v_2-v_1}{2}$，其相对位移即为进入物块 B 的深度 $d$：

$$d=\frac{v_2-v_1}{2}{t}_{\text{B}}$$

结合动量守恒式，可得 $v_2-v_1=\frac{(M_{\text{B}}+m)(k-1)}{m}{v}_1$。 代入上式化简，消去 $v_1$ 即可求得：

$$d=\frac{s_2(M_{\text{B}}+m)(k-1)}{m(k+1)}$$

代入 $k$ 展开后的完整代数解析式为：

$$d=\frac{s_2(M_{\text{B}}+m)}{m}\cdot \frac{\sqrt{1+\frac{s_2(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})}{s_1{M}_{\text{B}}}}-1}{\sqrt{1+\frac{s_2(M_{\text{A}}+M_{\text{B}})}{s_1{M}_{\text{B}}}}+1}$$