第一章

电场与电势

$$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }$$$$F_{12}=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}\text{overrightharpoon}{e}_{12}$$$$E=\frac{F}{q_0}$$$$\text{overrightharpoon}E=-\mathrm{\nabla }U$$$$U={\int }_P^{\mathrm{\infty }}\text{overrightharpoon}E\cdot \text{overrightharpoon}dl$$

点电荷

$$E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$$$$U=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$

电偶极子

$\text{overrightharpoon}p=q\text{overrightharpoon}l$, $l$ 由 $-q$ 到 $q$

$$U=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\text{overrightharpoon}p\cdot \text{overrightharpoon}{e}_r}{r^2}$$$$E=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{2p}{r^3}& \text{中垂线}\\ \frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{p}{r^3}& \text{延长线}\end{array}$$

提示

对于电偶极子、电四极子这类题，主要利用 $a\gg b$ 的条件，将结果变为包含 $\frac{b}{a}$，合理舍去高阶小量。

虚功原理也可以用来解决电偶极子一类题:

$$F_l=\frac{\partial w}{\partial l}$$$$L_{\theta }=\frac{\partial w}{\partial \theta }$$

高斯定理

$${\Phi }_E={\text{oiint}}_s\text{overrightharpoon}E\cdot \text{overrightharpoon}dS=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum _i{q}_i$$

对于无限长线电荷密度为 ${\eta }_e$ 的线，其电场强度

$$E=\frac{{\eta }_e}{2\pi {\epsilon }_{0}r}$$

对于无限大面电荷密度为 ${\sigma }_e$ 的线，其电场强度

$$E=\frac{{\sigma }_e}{2{\epsilon }_0}$$

静电场的环路定理:

$${\oint }_{L}E\cdot dl=0$$

相互作用能

$$\begin{gathered} W_{\text{互}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i-1}\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}} \\ =\frac{1}{8\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}(i\ne j) \\ =\frac{1}{2}\sum _i{q}_i{U}_i \end{gathered}$$

对于连续分布:

$$\begin{array}{}\text{(体)}& W_e=\frac{1}{2}{\int }_V{\rho }_{e}UdV\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(面)}& W_e=\frac{1}{2}{\int }_S{\sigma }_{e}UdS\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(线)}& W_e=\frac{1}{2}{\int }_l{\eta }_{e}Udl\end{array}$$