第十章 静电场中的能量

古代，人们用弩来加速箭，箭的速度能达到 ${10}^2\text{m/s}$ 数量级；后来，人们又在枪膛中用火药加速子弹，子弹的速度能达到 ${10}^3\text{m/s}$ 数量级；而现代，人们需要用高速的微观粒子轰击另一微观粒子来进行科学研究，其速度的数量级达到 ${10}^7\text{m/s}$，那是怎样加速的呢？

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10.1 电势能和电势

科学是可以解答的艺术。科学的前沿是介于可解与难解、已知与未知之间的全新疆域。致力于这个领域的科学家们竭尽全力将可解的边界朝难解方向推进，尽其所能揭示未知领域。 ——梅达瓦 ^[1]

【问题】 一个正电荷在电场中只受到静电力 $F$ 的作用，它在电场中由 A 点运动到 B 点时，静电力做了正功 $W_{AB}$。由动能定理可知，该电荷的动能增加了 $W_{AB}$。

从能量转化的角度思考，物体动能增加了，意味着有另外一种形式的能量减少了。这是一种什么形式的能量呢？

静电力做功的特点

【思考与讨论】 一个质量为 $m$ 的物体在地面某位置所受的重力是一定的，不管它怎样运动，其所受重力的大小都等于 $mg$，方向竖直向下（图 10.1-1 甲）；一个带正电的电荷量为 $q$ 的试探电荷在匀强电场中某位置所受的静电力也是一定的，不管它怎样运动，其所受静电力的大小都等于 $qE$，方向跟电场强度 $E$ 的方向相同（图 10.1-1 乙）。

重力做功具有跟路径无关的特点，静电力做功是否也具有这一特点？

如图 10.1-2，在电场强度为 $E$ 的匀强电场中任取 A、B 两点，把试探电荷 $q$ 沿两条不同路径从 A 点移动到 B 点，计算这两种情况下静电力对电荷所做的功。

把 $q$ 沿直线 AB 从 A 点移动到 B 点。在这个过程中，$q$ 受到的静电力 $F$ 与位移 AB 的夹角始终为 $\theta$，静电力对 $q$ 所做的功为

$$W_{AB}=F\cos \theta |AB|=qE\cos \theta |AB|=qE|AM|$$

再把 $q$ 沿折线 AMB 从 A 点移动到 B 点。在 $q$ 沿 AM 移动过程中，静电力对 $q$ 所做的功

$$W_{AM}=qE|AM|$$

在 $q$ 沿 MB 移动过程中，由于移动方向跟静电力方向垂直，静电力不做功，$W_{MB}=0$。

在整个移动过程中，静电力对 $q$ 所做的功

$$W_{AMB}=W_{AM}+W_{MB}=qE|AM|$$

所以，以上两种不同路径中静电力对 $q$ 所做的功是一样的。

另外，还可以使 $q$ 沿任意曲线 ANB 从 A 点移动到 B 点（图 10.1-3）。这时，我们把曲线分成无数小段，每一小段中，设想 $q$ 都从起点先沿电场方向、再沿垂直电场方向到达终点。各小段沿垂直电场方向运动时，静电力是不做功的，各小段沿电场方向移动的位移之和等于 $|AM|$。因此，$q$ 沿任意曲线从 A 点移动到 B 点静电力所做的功也是

$$W=qE|AM|$$

可见，不论 $q$ 经由什么路径从 A 点移动到 B 点，静电力所做的功都是一样的。^[2] 因此，在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。

电势能

我们知道，功和能量的变化密切相关。例如，重力做功等于重力势能的减少量。^[3] 节前"问题"中电荷所减少的能量，必定跟静电力做的功相关。静电力做功具有跟重力做功一样的特点，即静电力做功的多少与路径无关，只与电荷在电场中的始、末位置有关。电荷在电场中也具有势能，我们称这种形式的能为电势能（electric potential energy），用 $E_p$ 表示。

如果用 $W_{AB}$ 表示电荷由 A 点运动到 B 点静电力所做的功，$E_{pA}$ 和 $E_{pB}$ 分别表示电荷在 A 点和 B 点的电势能，它们之间的关系为

$$W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}$$

当 $W_{AB}$ 为正值时，，表明静电力做正功，电势能减少。

当 $W_{AB}$ 为负值时，，表明静电力做负功，电势能增加。

这跟重力做正功或负功时，重力势能的变化情况相似。

应该注意，静电力做的功只能决定电势能的变化量，而不能决定电荷在电场中某点电势能的数值。只有先把电场中某点的电势能规定为 0，才能确定电荷在电场中其他点的电势能。

例如，若规定图 10.1-2 中的电荷在 B 点的电势能为 0，则电荷在 A 点的电势能数值上等于 $W_{AB}$。也就是说，电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功。

通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为 0^[4]，或把电荷在大地表面的电势能规定为 0。

重力势能属于地球和物体组成的系统，是地球和物体相互作用产生的。同样，电势能是相互作用的电荷所共有的，或者说是电荷及对它作用的电场所共有的。我们说某个电荷的电势能，只是一种简略的说法。

电势

前面我们通过对静电力的研究，认识了电场强度。现在我们要通过对电势能的研究来认识另一个物理量——电势，它同样是表征电场性质的重要物理量。

有一个电场强度为 $E$ 的匀强电场（图 10.1-4），规定电荷在 O 点的电势能为 0。A 为电场中的任意一点，电荷 $q$ 在 A 点的电势能为 $E_{pA}$，等于电荷 $q$ 由 A 点移动到 O 点的过程中静电力所做的功，数值为 $W_{AO}$。

如果把一个电荷量为 $nq$ 的电荷也由 A 点移动到 O 点，由于移动过程中该电荷在任何一点所受的静电力始终是电荷量为 $q$ 的电荷的 $n$ 倍，它们的位移一样，因此，移动该电荷所做的功必定是 $n{W}_{AO}$。

【思考与讨论】 这个功与电荷的多少有关，显然不能用它来表示电场某点的性质，不过，以上分析会给我们一些启示。请你进一步分析，是否能找到反映电场某点性质的物理量。^[5]

由前面的分析可知，置于 A 点的电荷，如果它的电荷量变为原来的几倍，其电势能也变为原来的几倍，电势能与电荷量之比却是一定的，与放在 A 点的电荷量多少无关。它是由电场中该点的性质决定的，与试探电荷本身无关。

电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比，叫作电场在这一点的电势（electric potential）。如果用 $\phi$ 表示电势，用 $E_p$ 表示电荷 $q$ 的电势能，则

$$\phi =\frac{E_p}{q}$$

在国际单位制中，电势的单位是伏特（volt），符号是 $\text{V}$。在电场中的某一点，如果电荷量为 $1\text{C}$ 的电荷在这点的电势能是 $1\text{J}$，这一点的电势就是 $1\text{V}$，即

$$1\text{V}=1\text{J/C}$$

在图 10.1-4 中，假如正的试探电荷沿着电场线从左向右移向 O 点，它的电势能是逐渐减少的。可以说，沿着电场线方向电势逐渐降低。

与电势能的情况相似，应该先规定电场中某处的电势为 0，然后才能确定电场中其他各点的电势。^[6]

在规定了零电势点之后，电场中各点的电势可以是正值，也可以是负值。

电势只有大小，没有方向，是个标量。

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10.2 电势差

【问题】 如果我们要从 6 楼走到 8 楼，影响我们做功多少的因素是这两层楼的高度差而不是楼的高度。

某个电荷在确定的电场中由 A 点移动到 B 点，影响静电力做功多少的因素可能是 A 点或 B 点的电势值呢？还是 A、B 两点之间电势的差值呢？

电势差

选择不同的位置作为零电势点，电场中某点电势的数值也会改变，但电场中某两点之间电势的差值却保持不变。

在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差（electric potential difference），电势差也叫作电压（voltage）。设电场中 A 点的电势为 ${\phi }_A$，B 点的电势为 ${\phi }_B$，则它们之间的电势差可以表示为

$$U_{AB}={\phi }_A-{\phi }_B$$

也可以表示为

$$U_{BA}={\phi }_B-{\phi }_A$$

显然

$$U_{AB}=-U_{BA}$$

电势差可以是正值，也可以是负值。例如，当 A 点电势比 B 点电势高时，$U_{AB}$ 为正值，$U_{BA}$ 则为负值。

电荷 $q$ 在电场中从 A 点移动到 B 点时，静电力做的功 $W_{AB}$ 等于电荷在 A、B 两点的电势能之差。由此可以导出静电力做的功与电势差的关系

$$W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}$$$$W_{AB}=q{\phi }_A-q{\phi }_B=q({\phi }_A-{\phi }_B)=q{U}_{AB}$$

即

$$U_{AB}=\frac{W_{AB}}{q}$$

因此，知道了电场中两点的电势差，就可以很方便地计算在这两点之间移动电荷时静电力做的功，而不必考虑静电力和电荷移动的路径。正是因为这个缘故，在物理学中，电势的差值往往比电势更重要。

【例题】 在匀强电场中把电荷量为 $2.0\times {10}^{-9}\text{C}$ 的点电荷从 A 点移动到 B 点，静电力做的功为 $1.6\times {10}^{-7}\text{J}$。再把这个电荷从 B 点移动到 C 点，静电力做的功为 $-4.0\times {10}^{-7}\text{J}$。

1. A、B、C 三点中，哪点电势最高？哪点电势最低？
2. A、B 间，B、C 间，A、C 间的电势差各是多大？
3. 把电荷量为 $-1.5\times {10}^{-9}\text{C}$ 的点电荷从 A 点移动到 C 点，静电力做的功是多少？
4. 根据以上结果，定性地画出电场分布的示意图，标出 A、B、C 三点可能的位置。

解

1. 电荷从 A 点移动到 B 点，静电力做正功，所以 A 点电势比 B 点电势高。电荷从 B 点移动到 C 点，静电力做负功，所以 C 点电势比 B 点电势高。但 C、B 之间电势差的绝对值比 A、B 之间电势差的绝对值大，所以 C 点电势最高，A 点电势次之，B 点电势最低。
2. 根据静电力做的功与电势差的关系，A、B 间的电势差$$U_{AB}=\frac{W_{AB}}{q}=\frac{1.6\times {10}^{-7}}{2.0\times {10}^{-9}}\text{V}=80\text{V}$$A 点电势比 B 点电势高 $80\text{V}$。 同样，根据静电力做的功与电势差的关系，B、C 间的电势差$$U_{BC}=\frac{W_{BC}}{q}=\frac{-4.0\times {10}^{-7}}{2.0\times {10}^{-9}}\text{V}=-200\text{V}$$C 点电势比 B 点电势高 $200\text{V}$。 A、C 间的电势差$$U_{AC}=U_{AB}+U_{BC}=80\text{V}-200\text{V}=-120\text{V}$$
3. 把电荷量为 $-1.5\times {10}^{-9}\text{C}$ 的点电荷，从 A 点移动到 C 点时，静电力做的功为$$W_{AC}=q^{\prime }{U}_{AC}=(-1.5\times {10}^{-9})\times (-120)\text{J}=1.8\times {10}^{-7}\text{J}$$即静电力做正功 $1.8\times {10}^{-7}\text{J}$。
4. 电场分布示意图和 A、B、C 三点可能的位置如图 10.2-1 所示。

等势面

在地图中，常用等高线来表示地势的高低（图 10.2-2）。与此相似，在电场的图示中，常用等势面来表示电势的高低。我们把在电场中电势相同的各点构成的面叫作等势面（equipotential surface）。与电场线的功能相似，等势面也是用来形象地描绘电场的。等势面与电场线有什么关系呢？

在同一个等势面上，任何两点的电势都相等。所以，在同一个等势面上移动电荷时，静电力不做功。由此可知，等势面一定跟电场线垂直，即跟电场强度的方向垂直。^[7] 沿着电场线的方向，电势越来越低。所以，概括起来就是：电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。

图 10.2-3 是几种电场的等势面和电场线。每幅图中，两个相邻的等势面间的电势差是相等的。

【思考与讨论】 电势的高低跟重力场中位置的高低的含义有相似之处。例如，某处位置的高低跟放在该处物体的质量无关，某点电势的高低跟放在该点的试探电荷的电荷量无关。

由于电荷有正负之分，这就造成了二者的含义有所不同。

请讨论，它们有哪些不同。例如，质量相等的物体，处于较高位置的重力势能较大，那么电荷量数值相等的正负电荷，处于电势较高位置的电势能一定较大吗？

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1. 梅达瓦（Peter Brian Medawar，1915—1987），英国生物学家，诺贝尔生理学或医学奖获得者。 ↩︎

2. 旁注：这个结论虽然是从匀强电场中得出的，但对非匀强电场也适用。 ↩︎

3. 旁注：电势能是相互作用的电荷所共有的，或者说由电荷和电场共同具有。 ↩︎

4. 旁注：对于点电荷形成的电场，通常取无限远处的电势能为 0。 ↩︎

5. 旁注：与电场强度的定义方法相似，电势也是用比值定义法定义的。 ↩︎

6. 旁注：通常取大地或无穷远处的电势为 0。 ↩︎

7. 旁注：如果不是垂直的，静电力在等势面上就有分量，移动电荷时就要做功。 ↩︎