第七章 万有引力与宇宙航行

自远古以来，当人们仰望星空时，天空中壮丽璀璨的景象便吸引了他们的注意。智慧的头脑开始探索星体运动的奥秘。到了 17 世纪，牛顿以他伟大的工作把天空中的现象与地面上的现象统一起来，成功地解释了天体运行的规律。时至今日，数千颗人造地球卫星正在按照万有引力定律为它们“设定”的轨道绕地球运转着。牛顿发现的万有引力定律取得了如此辉煌的成就，以至于阿波罗 8 号从月球返航的途中，当地面控制中心问及“是谁在驾驶”的时候，宇航员回答：“我想现在是牛顿在驾驶。”

这一章我们将学习对人类智慧影响至为深远、在天体运动中起着决定性作用的万有引力定律，并了解它的发现历程和在人类开拓太空中的作用。

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7.1 行星的运动

（牛顿的）《原理》将成为一座永垂不朽的深邃智慧的纪念碑，它向我们揭示了最伟大的宇宙定律，是高于（当时）人类一切其他思想产物之上的杰作，这个简单而普遍定律的发现，以它囊括对象之巨大和多样性，给予人类智慧以光荣。 ——拉普拉斯 ^[1]

【问题】 不同行星都在各自的轨道上绕太阳运行，行星运行的轨道有怎样的特点？行星绕太阳运行的周期与距离太阳的远近是否存在某种关系？

在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法。地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕地球运动。它符合人们的直接经验。日心说则认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动，似乎与人们的生活经验不相符合。经过长期论争，日心说战胜了地心说，最终被接受。

无论地心说还是日心说，古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动。行星运动果真如此吗？

开普勒定律

德国天文学家开普勒用 20 年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符；只有假设行星绕太阳运动的轨道不是圆，而是椭圆，才能解释这种差别。他还发现了行星运动的其他规律。开普勒分别于 1609 年和 1619 年发表了他发现的下列规律，后人称为开普勒行星运动定律。

开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

开普勒第一定律告诉我们：行星绕太阳运行的轨道严格来说不是圆而是椭圆；太阳不在椭圆的中心，而是在其中一个焦点上；行星与太阳间的距离是不断变化的。

【做一做】绘制椭圆 可以用一条细绳和两只图钉来画椭圆。如图 7.1-1，把白纸铺在木板上，然后按上图钉。把细绳的两端系在图钉上，用一支铅笔紧贴着细绳滑动，使绳始终保持张紧状态。铅笔在纸上画出的轨迹就是椭圆，图钉在纸上留下的痕迹叫作椭圆的焦点。 保持绳长不变，当两焦点不断靠近时，椭圆形状如何变化？焦点重合时，半长轴转变为什么？

开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等（图 7.1-2）。

开普勒第二定律告诉我们：当行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小。

开普勒第三定律 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。

若用 $a$ 代表椭圆轨道的半长轴，$T$ 代表公转周期，开普勒第三定律告诉我们：

$$\frac{a^3}{T^2}=k$$

比值 $k$ 是一个对所有行星都相同的常量。

实际上，行星的轨道与圆十分接近（图 7.1-3），在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。这样就可以说：

1. 行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
2. 对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）大小不变，即行星做匀速圆周运动。
3. 所有行星轨道半径 $r$ 的三次方跟它的公转周期 $T$ 的二次方的比值都相等，即：

$$\frac{r^3}{T^2}=k$$

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7.2 万有引力定律

【问题】 各行星都围绕着太阳运行，说明太阳与行星之间的引力是使行星如此运动的主要原因。引力的大小和方向能确定吗？

开普勒定律发现之后，人们开始更深入地思考：是什么原因使行星绕太阳运动？历史上科学家们的探索之路充满艰辛。

伽利略、开普勒及笛卡儿都提出过自己的解释。牛顿时代的科学家，如胡克和哈雷等对此作出了重要的贡献 ^[2]。

胡克等人认为，行星绕太阳运动是因为受到了太阳对它的引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它所受引力的大小跟行星到太阳距离的二次方成反比。但是由于关于运动和力的清晰概念是由牛顿建立的，当时没有这些概念，因此他们无法深入研究。

牛顿在前人对惯性研究的基础上，开始思考“物体怎样才会不沿直线运动”这一问题。他的回答是：以任何方式改变速度（包括改变速度的方向）都需要力。这就是说，使行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对它的引力。于是，牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来了。

下面我们根据牛顿运动定律及开普勒行星运动定律来讨论太阳与行星间的引力。

行星与太阳间的引力

行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。行星做匀速圆周运动时，受到一个指向圆心（太阳）的引力，正是这个引力提供了向心力，由此可推知太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线（图7.2-1） ^[3]。

设行星的质量为 $m$，速度为 $v$，行星与太阳间的距离为 $r$，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力为：

$$F=m\frac{v^2}{r}$$

天文观测可以测得行星公转的周期 $T$，并据此可求出行星的速度：

$$v=\frac{2\pi r}{T}$$

把这个结果代入向心力的表达式，整理后得到：

$$F=\frac{4{\pi }^{2}mr}{T^2}$$

通过上节的学习我们知道周期 $T$ 和半径 $r$ 有一定的关系，把开普勒第三定律 $\frac{r^3}{T^2}=k$ 变形为 $T^2=\frac{r^3}{k}$，代入上面的关系式得到：

$$F=4{\pi }^{2}k\frac{m}{r^2}$$

上式等号右边除了 $m$、$r$ 以外，其余都是常量，对任何行星来说都是相同的，因而可以说太阳对行星的引力 $F$ 与行星的质量 $m$ 成正比，与 $r^2$ 成反比，即 $F\propto \frac{m}{r^2}$。

我们知道，力的作用是相互的。太阳吸引行星，行星也同样吸引太阳，也就是说，在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位完全相当，因此，行星对太阳的引力也应与太阳的质量 $m_{\text{太}}$ 成正比，即 $F\propto \frac{m_{\text{太}}}{r^2}$。

写成等式就是：

$$F=G\frac{m_{\text{太}}m}{r^2}$$

式中量 $G$ 与太阳、行星都没有关系。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。

月—地检验

地球绕太阳运动，月球绕地球运动，它们之间的作用力是同一种性质的力吗？这种力与地球对树上苹果的吸引力也是同一种性质的力吗（图 7.2-2）？

假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足 $F=G\frac{m_{\text{月}}{m}_{\text{地}}}{r^2}$。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度为：

$$a_{\text{月}}=\frac{F}{m_{\text{月}}}=G\frac{m_{\text{地}}}{r^2}$$

（式中 $m_{\text{地}}$ 是地球质量，$r$ 是地球中心与月球中心的距离）。

进一步，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度为：

$$a_{\text{苹}}=\frac{F}{m_{\text{苹}}}=G\frac{m_{\text{地}}}{R^2}$$

（式中 $m_{\text{地}}$ 是地球质量，$R$ 是地球中心与苹果间的距离）。

由以上两式可得：

$$\frac{a_{\text{苹}}}{a_{\text{月}}}=\frac{r^2}{R^2}$$

由于月球与地球中心的距离 $r$ 约为地球半径 $R$ 的 60 倍，所以：

$$\frac{a_{\text{苹}}}{a_{\text{月}}}=\frac{{60}^2}{1}$$

【思考与讨论】 已知自由落体加速度 $g$ 为 $9.8{\text{ m/s}}^2$，月球中心与地球中心的距离为 $3.8\times {10}^8\text{ m}$，月球公转周期为 $27.3\text{ d}$，约 $2.36\times {10}^6\text{ s}$。根据这些数据，能否验证前面的假设？

在牛顿的时代，人们已经能够比较精确地测定自由落体加速度，当时也能比较精确地测定月球与地球的距离、月球公转的周期，从而能够算出月球运动的向心加速度。计算结果与预期符合得很好 ^[4]。这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，真的遵从相同的规律！

万有引力定律

我们的思想还可以更解放。既然太阳与行星之间、地球与月球之间，以及地球与地面物体之间具有“与两个物体的质量成正比、与它们之间距离的二次方成反比”的吸引力，是否任意两个物体之间都有这样的力呢？很可能有，只是由于身边物体的质量比天体的质量小得多，不易觉察罢了。于是我们大胆地把以上结论推广到宇宙中的一切物体之间：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 $m_1$ 和 $m_2$ 的乘积成正比、与它们之间距离 $r$ 的二次方成反比 ^[5]，即：

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

式中质量的单位用千克（$\text{kg}$），距离的单位用米（$\text{m}$），力的单位用牛（$\text{N}$）。$G$ 是比例系数，叫作引力常量（gravitational constant），适用于任何两个物体。

尽管以上推广是十分自然的，但仍要接受事实的直接或间接的检验。本章后面的讨论表明，由此得出的结论与事实相符，于是，它成为科学史上最伟大的定律之一 ——万有引力定律（law of universal gravitation）。它于 1687 年发表在牛顿的传世之作《自然哲学的数学原理》中。

万有引力定律明确地向人们宣告，天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则；它向人们揭示，复杂运动的后面可能隐藏着简洁的科学规律，正是这种对简洁性的追求启迪科学家不断探索物理理论的统一。

引力常量

牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但却无法算出两个天体之间万有引力的大小，因为他不知道引力常量 $G$ 的值 ^[6]。

一百多年以后，英国物理学家卡文迪什通过实验测量了几个铅球之间的引力。由这一实验结果可推算出引力常量 $G$ 的值。国际科技数据委员会 2014 年的推荐值 $G=6.67408(31)\times {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$，通常取：

$$G=6.67\times {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$$

【思考与讨论】 一个篮球的质量为 $0.6\text{ kg}$，它所受的重力有多大？试估算操场上相距 $0.5\text{ m}$ 的两个篮球之间的万有引力。

引力常量是自然界中少数几个最重要的物理常量之一。在对一些物体间的引力进行测量并算出引力常量 $G$ 以后，人们又测量了多种物体间的引力，所得结果与利用引力常量 $G$ 按万有引力定律计算所得的结果相同。引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。

拓展学习：引力常量的测量

牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出引力常量 $G$ 的值。这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来。

1798 年，卡文迪什巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量 $G$ 的值。卡文迪什扭秤的主要部分是一个轻而坚固的 T 形架，倒挂在一根石英丝 $N$ 的下端。T 形架水平部分的两端各装一个质量是 $m$ 的小球，T 形架的竖直部分装一面小平面镜 $M$，它能把射来的光线反射到刻度尺上（图 7.2-3），这样就能比较精确地测量石英丝 $N$ 的扭转角度。

实验时，把两个质量都是 $m^{\prime }$ 的大球放在图中所示的位置，它们跟小球的距离相等，都为 $r$。由于 $m$ 受到 $m^{\prime }$ 的吸引，T 形架发生转动，使石英丝 $N$ 发生扭转，扭转的角度可以从平面镜 $M$ 反射的光点在刻度尺上移动的距离求出。根据石英丝的扭转角度，就可以求得 $m$ 与 $m^{\prime }$ 的引力 $F$。最后根据万有引力公式，就可以算出引力常量 $G$。

引力常量 $G$ 的精确测量对于深入研究引力相互作用规律具有重要意义。自卡文迪什之后，其他科学家相继致力于这项工作。我国华中科技大学引力中心团队在引力常量的测量中作出了突出贡献，于 2018 年得到了当时最精确的引力常量 $G$ 的值。

7.3 万有引力理论的成就

【问题】 在初中，我们已经知道物体的质量可以用天平来测量，生活中物体的质量常用电子秤或台秤来称量。对于地球，我们怎样“称量”它的质量呢？

一个成功的理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象。

“称量”地球的质量

有了万有引力定律，我们就能“称量”地球的质量！

“称量”地球的质量时，我们应选择哪个物体作为研究对象？运用哪些物理规律？需要忽略的次要因素是什么？

若不考虑地球自转的影响，地面上质量为 $m$ 的物体所受的重力 $mg$ 等于地球对物体的引力，即：

$$mg=G\frac{m{m}_{\text{地}}}{R^2}$$

式中 $m_{\text{地}}$ 是地球的质量；$R$ 是地球的半径，也就是物体到地心的距离。由此解出：

$$m_{\text{地}}=\frac{g{R}^2}{G}$$

地面的重力加速度 $g$ 和地球半径 $R$ 在卡文迪什之前就已经知道，一旦测得引力常量 $G$，就可以算出地球的质量 $m_{\text{地}}$。因此，卡文迪什把自己的实验说成是“称量地球的重量”^[7]。

计算天体的质量

能用“称量”地球质量的方法“称量”太阳吗？怎样才能得到太阳的质量？

行星绕太阳做匀速圆周运动，向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程，从中解出太阳的质量。

设 $m_{\text{太}}$ 是太阳的质量，$m$ 是某个行星的质量，$r$ 是行星与太阳之间的距离，行星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，列出方程：

$$G\frac{m{m}_{\text{太}}}{r^2}=m{\omega }^{2}r$$

行星运动的角速度 $\omega$ 不能直接测出，但可测出它的周期 $T$。把 $\omega$ 和 $T$ 的关系 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ 代入上式得到：

$$G\frac{m{m}_{\text{太}}}{r^2}=m\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}$$

由此式可得：

$$m_{\text{太}}=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}$$

测出行星的公转周期 $T$ 和它与太阳的距离 $r$，就可以算出太阳的质量。

虽然不同行星与太阳间的距离 $r$ 和绕太阳公转的周期 $T$ 各不相同，但是根据开普勒第三定律，所有行星的 $\frac{r^3}{T^2}$ 均相同，所以无论选择哪颗行星的轨道半径和公转周期进行计算，所得的太阳质量均相同。

如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可以算出行星的质量。目前，观测人造地球卫星的运动，是测量地球质量的重要方法之一。同样的道理，要得到木星的质量（图7.3-1），可以选择对木星的卫星进行测量，只要测得一颗卫星的轨道半径和周期，就可计算木星的质量。

月球虽然没有天然的卫星，但人类发射的航天器会环绕月球运行，只要测得航天器绕月运行的轨道半径和周期，就可计算月球的质量。

发现未知天体

到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。

• 是天文观测数据不准确？
• 是万有引力定律的准确性有问题？
• 是天王星轨道外面还有一颗未发现的行星？
• ……

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。后来，这颗行星被命名为海王星（图7.3-2）。海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体。

海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们在这里发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。但是因为距离遥远，太阳的光芒到达那里已经十分微弱了，在地球附近很难看出究竟。尽管如此，黑暗寒冷的太阳系边缘依然牵动着人们的心，探索工作从来没有停止过。

预言哈雷彗星回归

在牛顿之前，彗星被看作是一种神秘的现象。英国天文学家哈雷从1337年到1698年的彗星记录中挑选了24颗彗星，依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现1531年、1607年和1682年出现这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图7.3-3），周期约为76年，并预言它将于1758年底或1759年初再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是1986年，它的下次回归将在2061年左右。

海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。诺贝尔奖获得者物理学家劳厄说：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……”

牛顿还用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象，用万有引力定律和其他力学定律，推测地球呈赤道处略为隆起的扁平形状。万有引力定律可以用于分析地球表面重力加速度微小差异的原因，以及指导重力探矿。除了上述成就外，万有引力定律的另一重要应用将在下节讲述。

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7.4 宇宙航行

【问题】 如图所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中，牛顿设想：把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远；抛出速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星。你知道这个速度究竟有多大吗？

我们可以从运动和受力分析入手，用万有引力定律和牛顿第二定律进行求解。

宇宙速度

物体在地球附近绕地球运动时，太阳的作用可以忽略。

在简化之后，物体只受到指向地心的引力作用，物体绕地球的运动可视作匀速圆周运动。设地球的质量为 $m_{\text{地}}$，物体的质量为 $m$，速度为 $v$，它到地心的距离为 $r$。万有引力提供物体运动所需的向心力，所以：

$$G\frac{m{m}_{\text{地}}}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$

由此解出：

$$v=\sqrt{\frac{G{m}_{\text{地}}}{r}}$$

只要知道地球的质量 $m_{\text{地}}$ 和物体做圆周运动的轨道半径 $r$，就可以求出物体绕行速度的大小。

已知地球质量为 $5.98\times {10}^{24}\text{ kg}$，近地卫星在 $100\sim 200\text{ km}$ 的高度飞行，远小于地球半径（$6400\text{ km}$），可以近似用地球半径 $R$ 代替卫星到地心的距离 $r$。把数据代入上式后算出：

$$v=\sqrt{\frac{G{m}_{\text{地}}}{R}}=\sqrt{\frac{6.67\times {10}^{-11}\times 5.98\times {10}^{24}}{6.40\times {10}^6}}\text{ m/s}=7.9\text{ km/s}$$

这就是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度（first cosmic velocity）。

物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，可近似认为向心力是由重力提供的，有：

$$mg=m\frac{v^2}{R}$$

由此解出：

$$v=\sqrt{gR}$$

地球引力像一根无形的“绳子”，牵引着月球和人造地球卫星环绕地球转动。在地面附近发射飞行器，如果速度等于 $7.9\text{ km/s}$，这一飞行器只能围绕地球做圆周运动（图7.4-1），还不能脱离地球引力的束缚，飞离地球实现星际航行。

理论研究指出，在地面附近发射飞行器，如果速度大于 $7.9\text{ km/s}$，又小于 $11.2\text{ km/s}$，它绕地球运行的轨迹就不是圆，而是椭圆。当飞行器的速度等于或大于 $11.2\text{ km/s}$ 时，它就会克服地球的引力，永远离开地球。我们把 $11.2\text{ km/s}$ 叫作第二宇宙速度（second cosmic velocity）。

达到第二宇宙速度 of the spacecraft 还无法脱离太阳对它的引力。在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于 $16.7\text{ km/s}$，这个速度叫作第三宇宙速度（third cosmic velocity）。

人造地球卫星

牛顿虽然早就预言了人造地球卫星，但因发射需达到很大的速度，这对于人类是一个巨大的挑战。直到多级火箭的研制成功，才为人造地球卫星的发射创造了条件。1957年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星发射成功。

1970年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了中国航天史的新纪元。为我国航天事业作出特殊贡献的科学家钱学森被誉为“中国航天之父”。自首颗人造地球卫星发射后，人类已经发射了数千颗人造地球卫星，其中的通信、导航、气象等卫星已极大地改变了人类的生活。

地球同步卫星位于地面上方高度约 $36000\text{ km}$ 处，周期与地球自转周期相同。其中一种的轨道平面与赤道平面成 0 度角，运动方向与地球自转方向相同。因其相对地面静止，也称静止卫星。

载人航天与太空探索

人类一直有“飞天”的梦想，万有引力定律的发现，不仅破解了天上行星的运行规律，也为人类开辟了上天的理论之路。随着技术的进步，人类迈向太空的脚步越来越大，越来越坚实。

1961年4月12日，苏联航天员加加林进入了东方一号载人飞船。火箭点火起飞，飞船绕地球飞行一圈，历时 $108\text{ min}$，然后重返大气层，安全降落在地面，铸就了人类首次进入太空的丰碑。

1969年7月16日，运载阿波罗11号飞船的土星5号火箭在美国卡纳维拉尔角点火升空，拉开了人类登月这一伟大历史事件的幕。7月20日下午，人类终于踏上了月球表面（图7.4-2）。指令长阿姆斯特朗说出了那句载入史册的名言：“对个人来说，这不过是小小的一步，但对人类而言，却是巨大的飞跃。”

2003年10月15日9时，我国神舟五号宇宙飞船把中国第一位航天员杨利伟送入太空（图7.4-3）。飞船绕地球飞行14圈后安全降落。这标志着中国成为世界上能够独立开展载人航天活动的国家。自2011年11月起，神舟飞船先后与天宫一号目标飞行器、天宫二号空间实验室成功完成交会对接试验（图7.4-4）。2021年4月29日，具备长期自主飞行能力的天和核心舱成功发射。2022年12月2日，中国航天员乘组完成首次在轨交接，中国空间站正式开启长期有人驻留模式。中国空间站作为中国人的太空家园，在为人类的太空探索和空间技术进步贡献着中国力量。

在我国的探月工程与深空探测任务中，嫦娥四号于2019年1月3日实现了人类航天器首次月球背面软着陆与巡视探测。嫦娥五号于2020年12月1日着陆于月球的天船基地，共获取月球样品 $1731\text{ g}$，成为人类历史上无人自动采集月球样品最多的一次。2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星，祝融号火星车随后开展了探测火星巡视区形貌和地质构造等任务，并传回科学影像图，这标志着我国首次火星探测任务取得圆满成功。

地球是人类的摇篮，但是人类不会永远生活在摇篮里。尽管人类已经跨入太空，登上月球，但是，相对于宇宙之宏大，地球和月球不过是茫茫宇宙中的两粒尘埃；相对于宇宙之久长，人类历史不过是宇宙年轮上一道小小的刻痕……未来的探索之路还很长。

7.5 相对论时空观与牛顿力学的局限性

【问题】 设想人类可以利用飞船以 $0.2c$ 的速度进行星际航行。若飞船向正前方的某一星球发射一束激光，该星球上的观察者测量到的激光的速度是多少？

生活经验让我们体会到，时间像一条看不见的“长河”，均匀地自行流逝着，空间像一个广阔无边的房间，它们都不影响物体及其运动。也就是说，时间与空间都是独立于物体及其运动而存在的。这种绝对时空观，也叫牛顿力学时空观。

我们知道，若河中的水以相对于岸的速度 $v_{\text{水岸}}$ 流动，河中的船以相对于水的速度 $v_{\text{船水}}$ 顺流而下，则船相对于岸的速度为：

$$v_{\text{船岸}}=v_{\text{船水}}+v_{\text{水岸}}$$

因此，前面问题的答案似乎应为 $1.2c$。然而，事实并非如此！

相对论时空观

19世纪，英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明了电磁波的传播速度等于光速 $c$。人们自然要问：这个速度是相对哪个参考系而言的？一些物理学家对这个问题进行了研究。在实验研究中，1887年的迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的！这与牛顿力学中不同参考系之间的速度变换关系不符。

在牛顿力学理论与电磁波理论的矛盾与冲突面前，一些物理学家仍坚持原有理论的基础观念，进行一些修补的工作，而爱因斯坦、庞加莱等人则主张彻底放弃某些与实验和观测不符的观念，如绝对时间的概念，提出能够更好地解释实验事实的假设。

爱因斯坦假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。^[8]

在经典物理学家的头脑中，如果两个事件在一个参考系中是同时的，在另一个参考系中一定也是同时的。但是，如果接受了爱因斯坦的两个假设，还是这样吗？

假设一列火车沿平直轨道飞快地匀速行驶。车厢中央的光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前壁和后壁。车上的观察者以车厢为参考系，因为车厢是个惯性系，光向前、后传播的速率相同，光源又在车厢的中央，闪光当然会同时到达前后两壁（图7.5-1甲）。

对于车下的观察者来说，他以地面为参考系，因闪光向前、后传播的速率对地面也是相同的，在闪光飞向两壁的过程中，车厢向前行进了一段距离，所以向前的光传播的路程长些。他观测到的结果应该是：闪光先到达后壁，后到达前壁（图7.5-1乙）。因此，这两个事件不是同时发生的。

在爱因斯坦两个假设的基础上，经过严格的数学推导，可以得到下述结果。

如果相对于地面以 $v$ 运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为 $\mathrm{\Delta }\tau$，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为 $\mathrm{\Delta }t$，那么两者之间的关系是：

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }\tau }{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}(1)$$

由于物体的速度不可能达到光速，所以 ，总有 ，此种情况称为时间延缓效应。

如果与杆相对静止的人测得杆长是 $l_0$，沿着杆的方向，以 $v$ 相对杆运动的人测得杆长是 $l$，那么两者之间的关系是：

$$l=l_0\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}(2)$$

由于 ，所以总有 ，此种情况称为长度收缩效应。

（1）式和（2）式表明：运动物体的长度（空间距离）和物理过程的快慢（时间进程）都跟物体的运动状态有关。这个结论具有革命性的意义，它反映的时空观称作相对论时空观。

要验证（1）（2）两式是否正确，首先要找到高速运动的物体。科学家发现 $\mu$ 子以 $0.99c$ 甚至更高的速度飞行。根据经典理论可计算每秒到达地球的 $\mu$ 子数，这个数值小于实际观察到的 $\mu$ 子数。观察到的现象与经典理论产生了矛盾。

【思考与讨论】 已知 $\mu$ 子低速运动时的平均寿命是 $2.2\mu \text{s}$。当 $\mu$ 子以 $0.99c$ 的速度飞行，若选择 $\mu$ 子为参考系，此时 $\mu$ 的平均寿命是多少？对于地面上的观测者来说，平均寿命又是多少？

相对于光速而言，低速运动即可近似认为速度为 0，即若选择与 $\mu$ 子一起运动 of the object 某一物体为参考系，此时 $\mu$ 子的平均寿命是 $2.2\mu \text{s}$。对于地面上的观测者来说，由（1）式计算可知 $\mu$ 子平均寿命约为 $15.6\mu \text{s}$。由于平均寿命增大，飞行的距离也变大，因而在地面附近实际观测到的 $\mu$ 子的数量就大于经典理论作出的预言。^[9]

相对论时空观的第一次宏观验证是在1971年进行的。当时在地面上将四只铯原子钟调整同步，然后把它们分别放在两架喷气式飞机上做环球飞行，一架向东飞，另一架向西飞。两架飞机各绕地球飞行一周后回到地面，与留在地面的铯原子钟进行比较。实验结果与相对论的理论预言符合得很好。^[10]

牛顿力学的成就与局限性

牛顿力学的基础是牛顿运动定律，万有引力定律的建立与应用更是确立了人们对牛顿力学的尊敬。^[11]

从地面上物体的运动到天体的运动，从拦河筑坝、修建桥梁到设计各种机械，从自行车到汽车、火车、飞机等现代交通工具的运动，从投出篮球到发射导弹、人造地球卫星、宇宙飞船……所有这些都服从牛顿力学的规律。牛顿力学在如此广阔的领域里与实际相符合，显示了牛顿运动定律的正确性和牛顿力学的魅力。

但是，通过前面的学习，我们已经知道物体在接近光速运动时所遵从的规律，有些是与牛顿力学的结论并不相同的。

除了高速运动，牛顿力学在其他方面是否也有局限性？19世纪末和20世纪初，物理学研究深入到微观世界，发现了电子、质子、中子等微观粒子，而且发现它们不仅具有粒子性，同时还具有波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明。20世纪20年代，量子力学建立了，它能够很好地描述微观粒子运动的规律，并在现代科学技术中发挥了重要作用。^[12]

然而，基于实验检验的牛顿力学不会被新的科学成就所否定，而是作为某些条件下的特殊情形，被包括在新的科学成就之中。当物体的运动速度远小于光速 $c$ 时（$c=3\times {10}^8\text{ m/s}$），相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别；当另一个重要常数即普朗克常量 $h$ 可以忽略不计时（$h=6.63\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$），量子力学和牛顿力学的结论没有区别。相对论与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在一定条件下的特殊情形。

科学漫步：1. 宇宙的起源与演化

按照万有引力定律，宇宙中的星系之间存在引力，随着时间的推移，它们有可能会互相靠拢。然而，1929年美国天文学家哈勃发现，银河系以外的大多数星系都在远离我们而去，距离越远，离开的速度越大。这表明，我们所处的宇宙正在膨胀。我们可以用一个形象的方式来加以说明。各个星系就像是同一个气球表面的不同图案，当气球越吹越大时，气球表面上各图案之间的距离就会越来越远。

宇宙在不断膨胀，这意味着它在以前一定比现在小。1948年，伽莫夫提出了宇宙大爆炸理论。大爆炸理论成功地解释了很多观测事实。例如，它预言早期的宇宙发出温度极高的辐射，随着宇宙的膨胀，温度降低，辐射波长变长，至今应该在微波波段。1964~1965年，美国科学家彭齐亚斯和威尔逊检测到了这种微波背景辐射并因此获得 1978 年诺贝尔物理学奖。图 7.5-2 是普朗克探测器记录下的微波天空，黄色斑点表示宇宙微波背景辐射，也就是大爆炸的残余辐射。

多方面的分析表明，我们的宇宙是在约 138 亿年以前从一个尺度极小的状态发展演化来的。在这个过程中，宇宙的温度从高到低，先是生成一些基本粒子形态的物质，接着产生了原子、分子等各种物质，物质再进一步聚集起来形成星系，成为我们今天看到的宇宙。

宇宙留给人们的思考和疑问深邃而广阔。宇宙有没有边界？有没有起始和终结？地外文明在哪里？……爱因斯坦曾经说过：“一个人最完美和最强烈的情感来自面对不解之谜。”你想加入探究宇宙之谜的行列吗？

科学漫步：2. 恒星的演化

天文学家根据对各种恒星的观测和理论研究，弄清楚了恒星演化的整个过程，并认识到恒星的寿命主要取决于它的质量。

根据大爆炸宇宙学，大爆炸 10 万年后，温度下降到了 $3000\text{ K}$ 左右，出现了由中性原子构成的宇宙尘埃。由于万有引力的作用，形成了更密集的尘埃。尘埃像滚雪球一样越滚越大，形成了气体状态的星云团。星云团的凝聚使温度升高，到一定程度星云团就开始发光。于是，恒星诞生了。这颗星继续收缩升温，当温度超过 ${10}^7\text{ K}$ 时，氢通过热核反应成为氦，释放的核能主要以电磁波的形式向外辐射。辐射产生的扩张压力与引力产生的收缩压力平衡，这时星体稳定下来。

恒星最后的归宿是什么？这与恒星的质量大小有关。如果恒星的质量介于 1~8 倍太阳质量，它会演变为白矮星，即体积很小，但质量不太小的恒星。如果恒星的质量是太阳质量的 10~20 倍，更强大的压力使原子中的电子和质子被压在一起，整个恒星成为中子组成的天体，叫作中子星。当恒星的质量更大时，其内部的任何物质都无法抵抗巨大引力产生的压力，物质被“压”成了更为神奇的天体——黑洞。

几十年来，科学家们一直在寻找黑洞。2016年2月11日，科学家宣布激光干涉引力波天文台（LIGO）（图 7.5-3）探测到了由黑洞合并产生的一个时间极短的引力波信号，这次探测和后来的探测结果证明了黑洞的存在。

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1. 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749 — 1827），法国数学家、天文学家。 ↩︎

2. 旁注：哥白尼、第谷、开普勒这些科学家不畏艰辛、几十年如一日刻苦钻研的精神是成功的基石，值得我们学习。 ↩︎

3. 旁注：从第谷的数千个数据到开普勒行星运动定律，再到引力的表达式，我们可以体会到认识越深刻，表述就越简洁，含义就越丰富。获得真知的愉悦和审美感受总是激励科学家不断探索。 ↩︎

4. 旁注：牛顿深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系。正是在这个过程中，力与加速度的关系在牛顿的思想中明确起来了。 ↩︎

5. 旁注：科学论证需要证据支持。开普勒根据第谷的观测数据提出了行星运动定律，行星运动定律又为万有引力定律提供了支持，“月—地检验”进一步验证了万有引力定律。 ↩︎

6. 旁注：有人曾问李政道教授，在他做学生时，刚一接触物理学，什么东西给他的印象最深？他毫不迟疑地回答，是物理学法则的普适性深深地打动了他。 ↩︎

7. 原文注脚：① 用现代物理学的术语，应该说是“称量”地球的质量。 ↩︎

8. 旁注：爱因斯坦的假说以及在此假说基础上得出的结论，经受住了实验的检验，对现代物理学和人类的思想发展都有很大的影响。 ↩︎

9. 旁注：高速运动的 $\mu$ 子平均寿命变长这一现象，用经典理论无法解释，用相对论时空观可得到很好的解释。这一研究结果成了相对论时空观的最早证据。 ↩︎

10. 原文注脚：① 在这个实验中，原子钟计时的差异实际是狭义相对论和广义相对论两种效应的结果。 ↩︎

11. 旁注：如果一定要举出某个人、某一天作为近代科学诞生的标志，我选牛顿《自然哲学的数学原理》在1687年出版的那一天。——杨振宁 ↩︎

12. 旁注：像一切科学一样，牛顿力学没有也不会穷尽一切真理，它也有自己的局限性。它像一切科学理论一样，是一部“未完成的交响曲”。 ↩︎