第八章机械能守恒定律

Mr.Hope2026/7/7...大约 33 分钟

第八章机械能守恒定律

任何人类活动都离不开能量。例如，现代化的生活离不开电厂供应的电能，许多现代交通离不开燃料燃烧释放的化学能，核电站能够利用原子核裂变时释放的核能，人类生活需要摄入食物中的化学能，植物的生长依赖太阳能……

在长期的科学实践中，人们发现不同形式的能量可以互相转化，并且能量的转化与功的概念紧密相连。这是因为，如果在一个过程中存在做功的现象，就必然存在能量变化的现象，功的计算能够为能量的定量表达及能量的变化提供分析的基础。

8.1 功与功率

物理学的任务是发现普遍的自然规律。因为这样的规律的最简单的形式之一表现为某种物理量的不变性，所以对于守恒量的寻求不仅是合理的，而且也是极为重要的研究方向。 ——劳厄 ^[1]

【问题】 起重机竖直提升重物时，重物运动的方向与力的方向一致，则力对物体做的功为力的大小与重物移动距离的乘积。更普遍的情形是物体运动的方向与力的方向不一致，例如马拉雪橇时拉力方向和雪橇运动方向间有一个角度。这时应当怎样计算功呢？

当力 $F$ 的方向与运动方向成某一角度时（图 8.1-1），可以把力 $F$ 分解为两个分力：与位移方向一致的分力 $F_{1}$ ，与位移方向垂直的分力 $F_{2}$ 。设物体在力 $F$ 的作用下发生的位移的大小是 $l$ ，则分力 $F_{1}$ 所做的功等于 $F_{1} l$ 。分力 $F_{2}$ 的方向与位移的方向垂直，物体在 $F_{2}$ 的方向上没有发生位移， $F_{2}$ 所做的功等于 0。因此，力 $F$ 对物体所做的功 $W$ 等于 $F_{1} l$ ，而 $F_{1} = F \cos α$ ，所以：

W = F l \cos α

这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。

功是标量。在国际单位制中，功的单位是焦耳（joule），简称焦，符号是 $J$ 。 $1 J$ 等于 $1 N$ 的力使物体在力的方向上发生 $1 m$ 位移的过程中所做的功，所以：

1 J = 1 N \times 1 m = 1 N \cdot m

正功和负功

下面我们讨论力与位移成不同的角度时，力做功的几种情况。

（1）当 $α = \frac{π}{2}$ 时， $\cos α = 0$ ， $W = 0$ 。这表示力 $F$ 的方向与位移 $l$ 的方向垂直时，力 $F$ 不做功。例如，物体在水平桌面上运动，重力 $G$ 和支持力 $F_{N}$ 都与位移方向垂直，这两个力都不做功（图 8.1-2 甲）。

（2）当 $0 \leq α < \frac{π}{2}$ 时， $\cos α > 0$ ， $W > 0$ 。这表示力 $F$ 对物体做正功。例如，人用力拉车前进时，人的拉力 $F$ 对车做正功（图 8.1-2 乙）。

（3）当 $\frac{π}{2} < α \leq π$ 时， $\cos α < 0$ ， $W < 0$ 。这表示力 $F$ 对物体做负功。例如，要使运动的小车减速，人向后拉车的力 $F$ 对车做负功（图 8.1-2 丙）。

上面我们分析的是物体受一个力时做功的几种情况。实际中，物体通常会受多个力的作用。当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。可以证明，它也就是这几个力的合力对物体所做的功。

【例题 1】 一个质量为 $150 kg$ 的雪橇，受到与水平方向成 $37^{\circ}$ 角斜向上方的拉力，大小为 $500 N$ ，在水平地面上移动的距离为 $5 m$ 。地面对雪橇的阻力为 $100 N$ ， $\cos 37^{\circ} = 0.8$ 。求各力对雪橇做的总功。

分析雪橇的运动方向及有关受力情况如图 8.1-3 所示。拉力 $F$ 可以分解为水平方向和竖直方向的两个分力，竖直方向的分力 $F_{y}$ 、支持力 $F_{N}$ 和重力 $G$ 与运动方向垂直，不做功。所以各力对雪橇做的总功为拉力的水平分力 $F_{x}$ 和阻力 $F_{阻}$ 所做的功的代数和。

解拉力在水平方向的分力为 $F_{x} = F \cos 37^{\circ}$ ，它所做的功为：

W_{1} = F_{x} l = F l \cos 37^{\circ} = 500 \times 5 \times 0.8 J = 2000 J

阻力与运动方向相反，两者夹角为 $180^{\circ}$ ，它所做的功为：

W_{2} = F_{阻} l \cos 180^{\circ} = - 100 \times 5 J = - 500 J

力对物体所做的总功为二者的代数和，即：

W = W_{1} + W_{2} = (2000 - 500) J = 1500 J

力对雪橇所做的总功是 $1500 J$ 。

功率

在物理学中，做功的快慢用功率表示。如果从开始计时到时刻 $t$ 这段时间内，力做的功为 $W$ ，则功 $W$ 与完成这些功所用时间 $t$ 之比叫作功率（power）。用 $P$ 表示功率，则有：

P = \frac{W}{t}

在国际单位制中，功率的单位是瓦特（watt），简称瓦，符号是 $W$ 。 $1 W = 1 J/s$ 。瓦这个单位比较小，技术上常用千瓦（ $kW$ ）作功率的单位， $1 kW = 1000 W$ 。力、位移、时间都与功率相联系，这种联系在技术上具有重要意义。

如果物体沿位移方向受的力是 $F$ ，从计时开始到时刻 $t$ 这段时间内，发生的位移是 $l$ ，则力在这段时间内所做的功为：

W = F l

因此，有：

P = \frac{W}{t} = \frac{F l}{t}

由于位移 $l$ 是从开始计时到时刻 $t$ 这段时间内发生的，所以 $\frac{l}{t}$ 是物体在这段时间内的平均速度 $v$ ，于是上式可以写成：

P = F v

可见，一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的乘积。

从以上推导过程来看， $P = F v$ 中的速度 $v$ 是物体在恒力 $F$ 作用下的平均速度，所以这里的功率 $P$ 是指从计时开始到时刻 $t$ 的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度，这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。

【思考与讨论】 从 $P = F v$ 可以看出，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率 $P$ 一定时，牵引力 $F$ 与速度 $v$ 成反比。你认为应该怎样增大它们的牵引力呢？^[2]

发动机输出的功率不能无限制地增大，所以汽车上坡时司机要用“换挡”的办法减小速度，来得到较大的牵引力（图 8.1-4）。不过，在发动机输出功率一定时，通过减小速度提高牵引力或通过减小牵引力而提高速度，效果都是有限的。所以，要提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的额定功率，这就是高速火车、汽车和大型舰船需要大功率发动机的原因。

【例题 2】 发动机的额定功率是汽车长时间行驶时所能输出的最大功率。某型号汽车发动机的额定功率为 $60 kW$ ，在水平路面上行驶时受到的阻力是 $1800 N$ ，求发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度。假定汽车行驶速度为 $54 km/h$ 时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际功率是多少？^[3]

分析实际功率不一定总等于额定功率，大多数情况下输出的实际功率都比额定功率小，但在需要时，短时间也可以输出更大的功率。题目中说“受到的阻力不变”，表明本题对于较低速度行驶时发动机的输出功率只要求估算。

解汽车在水平路面上匀速行驶时，受到的牵引力：

F = F_{阻} = 1800 N

由于 $P = F v$ ，所以额定功率下的速度：

v = \frac{P}{F} = \frac{60 000}{1800} m/s = 33.3 m/s = 120 km/h

当汽车以速度 $v_{实} = 54 km/h = 15 m/s$ 行驶时，有：

P_{实} = F v_{实} = 1800 \times 15 W = 27 kW

汽车以额定功率匀速行驶时的速度为 $120 km/h$ 。汽车以 $54 km/h$ 的速度行驶时，发动机输出的实际功率为 $27 kW$ 。

8.2 重力势能

【问题】 初中我们已经定性地学习了重力势能，物体的质量越大、所处的位置越高，重力势能就越大。这一节我们来进一步定量地研究重力势能。你认为重力势能的表达式应该是怎样的呢？

重力做的功

当物体的高度发生变化时，重力做功，势能发生变化：物体下降时重力做正功，势能减小；物体被举高时重力做负功，势能增大。因此，重力势能与重力做功密切相关，认识重力势能不应脱离对重力做功的研究。

设一个质量为 $m$ 的物体，从与地面高度为 $h_{1}$ 的位置 $A$ ，竖直向下运动到高度为 $h_{2}$ 的位置 $B$ （图 8.2-1 甲），这个过程中重力做的功是：^[4]

W_{G} = m g Δ h = m g h_{1} - m g h_{2}

再看另一种情况。质量为 $m$ 的物体仍然从上向下运动，高度由 $h_{1}$ 降为 $h_{2}$ ，但这次不是沿竖直方向，而是沿着一个斜面向下运动到 $B^{'}$ ，再水平运动到 $B$ （图 8.2-1 乙）。物体沿斜面运动的距离是 $l$ ，在这一过程中重力做的功是：

W_{G} = (m g \cos θ) l = m g Δ h = m g h_{1} - m g h_{2}

从 $B^{'}$ 沿水平方向运动到 $B$ 的过程中，重力不做功。

上面两种情况中，尽管物体运动的路径不同，但高度的变化是一样的，而且重力做的功也是一样的。

分析表明，物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。也就是说，只要起点和终点的位置不变，不论物体沿什么路径运动，重力所做的功都相同。功等于物体所受的重力跟起点高度的乘积 $m g h_{1}$ 与跟终点高度的乘积 $m g h_{2}$ 两者之差。

看起来，物体所受的重力 $m g$ 与它所处位置的高度 $h$ 的乘积 $m g h$ ，具有特殊的意义。

重力势能

$m g h$ 的特殊意义在于它一方面与重力做的功密切相关，另一方面它随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加，恰与前述重力势能的特征一致。因此，我们把 $m g h$ 叫作物体的重力势能（gravitational potential energy），常用 $E_{p}$ 表示，即：^[5]

E_{p} = m g h

与其他形式的能一样，重力势能也是标量，其单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，符号为 $J$ 。

1 J = 1 kg \cdot m \cdot s^{- 2} \cdot m = 1 N \cdot m

有了重力势能的表达式，重力做的功与重力势能的关系可以写为：

W_{G} = E_{p 1} - E_{p 2}

其中 $E_{p 1}$ 表示物体在初位置的重力势能， $E_{p 2}$ 表示物体在末位置的重力势能。

当物体由高处运动到低处时，重力做功，重力势能减少，即：

W_{G} > 0, E_{p 1} > E_{p 2}

当物体由低处运动到高处时（图 8.2-2），重力做负功，重力势能增加，即：

W_{G} < 0, E_{p 1} < E_{p 2}

【思考与讨论】 若重力做的功与路径有关，即对应于同样的起点和终点，重力对同一物体所做的功，随物体运动路径的不同而不同（图 8.2-3），我们还能把 $m g h$ 叫作物体的重力势能吗？为什么？

拓展学习：物体沿曲面滑下时重力做的功

假设一个物体不是整直下落，而是沿曲面向下运动，高度都由 $h_{1}$ 降为 $h_{2}$ （图 8.2-4），重力所做的功是否还一样呢？

我们把整个路径分成许多段很短的间隔，经过的路程分别为 $A A_{1}$ ， $A_{1} A_{2}$ ， $A_{2} A_{3}$ ，…，由于每一段都很小，因而都可以近似地看作一段倾斜的直线。设每段小斜线的高度差分别是 $Δ h_{1}$ ， $Δ h_{2}$ ， $Δ h_{3}$ ，…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为 $m g Δ h_{1}$ ， $m g Δ h_{2}$ ， $m g Δ h_{3}$ ，…

物体通过整个路径时重力做的功，等于重力在每小段上做的功的代数和，即：

W_{G} = m g Δ h_{1} + m g Δ h_{2} + m g Δ h_{3} + \dots

W_{G} = m g (Δ h_{1} + Δ h_{2} + Δ h_{3} + \dots)

W_{G} = m g Δ h

W_{G} = m g h_{1} - m g h_{2}

重力势能的相对性

物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面。在这个水平面上，物体的重力势能取为 0。选择哪个水平面为参考平面，可视研究问题的方便而定。通常选择地面为参考平面。

选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的，但这并不影响问题的研究。因为在与重力势能相关的问题中，有价值的是重力势能的差值，而选择不同的参考平面对这个差值没有影响。

对选定的参考平面而言，上方物体的高度是正值，重力势能也是正值；下方物体的高度是负值，重力势能也是负值。负值的重力势能，表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。如图 8.2-5，以二楼的地面作为参考平面，二楼房间里 $A$ 处的物体具有正的重力势能，一楼房间里 $B$ 处的物体具有负的重力势能。

弹性势能

拉长或压缩的弹簧、卷紧的发条、拉开的弓、正在击球的网球拍、撑竿跳高运动员手中弯曲的竿（图 8.2-6），等等，这些物体都发生了弹性形变，每个物体的各部分之间都有弹力的相互作用。发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能（elastic potential energy）。

弹性势能跟形变的大小有关系。例如，在弹性限度内，弹簧的弹性势能跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关。被拉伸或压缩的长度越长，恢复原状过程中对外做的功就越多，弹簧的弹性势能就越大。另外，弹簧的弹性势能还跟弹簧的劲度系数有关。不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹簧恢复原状过程中对外做的功就越多，因而弹簧的弹性势能就越大。

势能也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。重力势能是由地球和地面上物体的相对位置决定的，弹性势能是由发生弹性形变的物体各部分的相对位置决定的。我们以后还会学到其他形式的势能。

8.3 动能和动能定理

【问题】 物体的动能跟物体的质量和速度都有关系。物体的质量越大，速度越大，它的动能就越大。炮弹在炮筒内推力的作用下速度越来越大，动能增加。这种情况下推力对物体做了功。

你还能举出其他例子，说明动能和力做的功有关吗？这对于定量研究动能有什么启发呢？

动能的表达式

大量实例说明，物体动能的变化和力对物体做的功密切相关。因此，研究物体的动能离不开对力做功的分析。这与上一节研究重力势能的思路是一致的。

质量为 $m$ 的某物体在光滑水平面上运动，在与运动方向相同的恒力 $F$ 的作用下发生一段位移 $l$ ，速度由 $v_{1}$ 增加到 $v_{2}$ （图 8.3-1）。

在这个过程中，恒力 $F$ 做的功 $W = F l$ ，根据牛顿第二定律，有：

F = m a

再根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有：

l = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{2 a}

把 $F$ 、 $l$ 的表达式代入 $W = F l$ 中，可得 $F$ 做的功为：

W = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2}

从上式可以看出，“ $\frac{1}{2} m v^{2}$ ”很可能是一个具有特定意义的物理量，因为这个量在过程终了与过程开始时的差，正好等于力对物体做的功。在物理学中就用“ $\frac{1}{2} m v^{2}$ ”这个量表示物体的动能（kinetic energy），用符号 $E_{k}$ 表示。于是我们说，质量为 $m$ 的物体，以速度 $v$ 运动时的动能是：

E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}

动能是标量，它的单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，这是因为：

1 kg \cdot (m/s)^{2} = 1 N \cdot m = 1 J

【思考与讨论】 2016年8月16日，我国成功发射首颗量子科学实验卫星“墨子号”，它的质量为 $631 kg$ ，某时刻它的速度大小为 $7.6 km/s$ ，此时它的动能是多少？

动能定理

在得到动能的表达式后， $\frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2}$ 可以写成：

W = E_{k 2} - E_{k 1}

其中 $E_{k 2}$ 表示一个过程的末动能， $E_{k 1}$ 表示这个过程的初动能。

这个关系表明，力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫作动能定理（theorem of kinetic energy） ^[6]。

如果物体受到几个力的共同作用，动能定理中的力对物体做的功 $W$ 即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。

这里，动能定理是在物体受恒力作用，并且做直线运动的情况下得到的。当物体受变力作用，或做曲线运动时，我们可以采用把整个过程分成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的是恒力，运动的轨迹是直线，把这些小段中力做的功相加，这样也能得到动能定理。

【例题 1】 一架喷气式飞机，质量 $m$ 为 $7.0 \times 10^{4} kg$ ，起飞过程中从静止开始滑跑。当位移 $l$ 达到 $2.5 \times 10^{3} m$ 时，速度达到起飞速度 $80 m/s$ 。在此过程中，飞机受到的平均阻力是飞机所受重力的 $\frac{1}{50}$ 。 $g$ 取 $10 {m/s}^{2}$ ，求飞机平均牵引力的大小。

分析本题已知飞机滑跑过程的始、末速度，因而能够知道它在滑跑过程中增加的动能。根据动能定理，动能的增加等于牵引力做功和阻力做功的代数和。

如图 8.3-2，在整个过程中，牵引力对飞机做正功、阻力做负功。由于飞机的位移和所受阻力已知，因而可以求得牵引力的大小。

解以飞机为研究对象，设飞机滑跑的方向为 $x$ 轴正方向。飞机的初动能 $E_{k 1} = 0$ ，末动能 $E_{k 2} = \frac{1}{2} m v^{2}$ ，合力 $F$ 做的功：

W = F l

根据动能定理 $W = E_{k 2} - E_{k 1}$ ，有：

F l = \frac{1}{2} m v^{2} - 0

由于 $F = F_{牵} - F_{阻}$ ， $F_{阻} = k m g$ ， $k = \frac{1}{50}$ ，则：

F_{牵} = \frac{m v^{2}}{2 l} + k m g

把数值代入后得到：

F_{牵} = 1.04 \times 10^{5} N

飞机平均牵引力的大小是 $1.04 \times 10^{5} N$ 。

从这个例题可以看出，动能定理不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因此用它处理问题常常比较方便。

在应用动能定理时还应该注意到，力对物体做的功可以为正值，也可以为负值。合力做正功时，物体的动能增加；合力做负功时，物体的动能减少。

【例题 2】 人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实（图 8.3-3）。设某次打夯符合以下模型：两人同时通过绳子对重物各施加一个力，力的大小均为 $360 N$ ，方向都与竖直方向成 $37^{\circ}$ ，重物离开地面 $25 cm$ 后人停止施力，最后重物自由下落把地面砸深 $2 cm$ 。已知重物的质量为 $50 kg$ ， $g$ 取 $10 {m/s}^{2}$ ， $\cos 37^{\circ} = 0.8$ 。求：（1）重物刚落地时的速度是多大？（2）重物对地面的平均冲击力是多大？

分析如图 8.3-4，甲表示重物在地面上受到人的作用力，乙表示上升 $25 cm$ 后人停止施力，丙表示刚落地，丁表示砸深地面 $2 cm$ 后静止。

重物落地时的速度，即丙中重物的速度，可以对从甲至丙这一过程应用动能定理来求解。重物对地面冲击力的大小与从丙至丁这一过程中重物所受阻力的大小相等，可以对这一过程应用动能定理来求解。

解（1）两根绳子对重物的合力为：

F_{合} = 2 F \cos 37^{\circ} = 2 \times 360 \times 0.8 N = 576 N

由甲至丙的过程中，重力做功为 0，绳子的拉力做功为 $F_{合} l$ ，应用动能定理可得：

F_{合} l = \frac{1}{2} m v^{2}

v = \sqrt{\frac{2 F_{合} l}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 576 \times 0.25}{50}} m/s = 2.4 m/s

（2）由丙到丁的过程中，应用动能定理可得：

m g l^{'} - F_{阻} l^{'} = 0 - \frac{1}{2} m v^{2}

F_{阻} = m g + \frac{m v^{2}}{2 l^{'}} = (50 \times 10 + \frac{50 \times {2.4}^{2}}{2 \times 0.02}) N = 7.7 \times 10^{3} N

重物落地时的速度大小为 $2.4 m/s$ 。根据牛顿第三定律可知，重物对地面的平均冲击力的大小为 $7.7 \times 10^{3} N$ 。

8.4 机械能守恒定律

【问题】 伽利略曾研究过小球在斜面上的运动。他发现：无论斜面 B 比斜面 A 陡些或缓些，小球的速度最后总会在斜面上的某点变为 0，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度基本相同。

在小球的运动过程中，有哪些物理量是变化的？哪些是不变的？你能找出不变的量吗？

追寻守恒量

能量对于科学研究和日常生活有着巨大的影响，但要用一句话说清楚能量究竟是什么却非易事。这也许是牛顿未能把“能量”这一概念留给我们的原因之一。但是在牛顿之前，我们就已经能在力学领域发现它的萌芽。

如果不采用能量的概念，我们也可以利用以前的语言来描述伽利略的斜面实验。我们可以说，为了把小球从桌面提高到斜面上的某个位置，伽利略施加了与重力相反的力；当他释放小球时，重力使小球滚下斜面 A；在斜面的底部，小球由于惯性而滚上斜面 B。

但是，这样的描述不能直接表达一个最重要的事实：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的。

其实，伽利略已经走到了机械能守恒的大门口，只是当时还没有“能量”的概念，因此，伽利略没有得出机械能守恒的结论。

能量概念的引入是科学前辈们追寻守恒量的一个重要事例。^[7]

动能与势能的相互转化

物体沿光滑斜面滑下时，重力对物体做正功，物体的重力势能减少。减少的重力势能到哪里去了？

我们发现，在这个过程中，物体的速度增加了，表示物体的动能增加了。这说明，物体原来的重力势能转化成了动能。

具有一定速度的物体，由于惯性沿光滑斜面上升，这时重力对物体做负功，物体的速度减小，表示物体的动能减少了。但由于物体的高度增加，它的重力势能增加了。这说明，物体的动能转化成了重力势能。

竖直向上抛出一个物体，随着物体高度的增加，它的速度会减小；当物体到达最高点后会转而下降，同时速度逐渐增大。这一过程同样可以从动能和重力势能相互转化的角度来分析。

不仅重力势能可以与动能相互转化，弹性势能也可以与动能相互转化。例如，被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原来形状时，就把跟它接触的物体弹出去。这一过程中，弹力做正功，弹簧的弹性势能减少，而物体得到一定的速度，动能增加。再如，运动员从跳板上弹起的过程中，跳板的弹性势能转化为运动员的动能（图 8.4-1），也是这样一种过程。

重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能（mechanical energy）。通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式。

【思考与讨论】 一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落（图 8.4-2）。它们都由高度为 $h_{1}$ 的地方下落到高度为 $h_{2}$ 的地方。在这两种情况下，重力做的功相等吗？重力势能的变化相等吗？动能的变化相等吗？重力势能各转化成什么形式的能？

机械能守恒定律

动能与势能的相互转化是否存在某种定量的关系？

这里以动能与重力势能的相互转化为例，讨论这个问题。我们讨论物体沿光滑曲面滑下的情形。这种情形下，物体受到重力和曲面支持力的作用，因为支持力方向与运动方向垂直，支持力不做功，所以，只有重力做功。

在图 8.4-3 中，物体在某一时刻处在高度为 $h_{1}$ 的位置 $A$ ，这时它的速度是 $v_{1}$ 。经过一段时间后，物体下落到高度为 $h_{2}$ 的另一位置 $B$ ，这时它的速度是 $v_{2}$ 。用 $W$ 表示这一过程中重力做的功。从动能定理知道，重力对物体做的功等于物体动能的增加，即：

W = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2}

另一方面，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少，即：

W = m g h_{1} - m g h_{2}

从以上两式可得：

m g h_{1} - m g h_{2} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2}

这就是说，重力做了多少功，就有多少重力势能转化为动能。把上式移项后得到：

\frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1}

等式左边为物体末状态动能与势能之和，等式右边为物体初状态动能与势能之和。

可见，在只有重力做功的系统内，动能与重力势能互相转化时总的机械能保持不变。

【思考与讨论】 在图 8.4-3 中，如果物体从位置 $B$ 沿光滑曲面上升到位置 $A$ ，重力做负功。这种情况下上式的关系是否还成立？

同样可以证明，在只有弹力做功的系统内，动能和弹性势能互相转化时总的机械能也保持不变。在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。这叫作机械能守恒定律（law of conservation of mechanical energy）。它是力学中的一条重要定律，是普遍的能量守恒定律在力学范围内的表现形式。

如图 8.4-4，滑雪者沿斜面下滑时，斜面的支持力与运动方向垂直，不做功；如果阻力做的功较少，可以忽略，则只有重力做功。此种情况下，动能与重力势能可以互相转化，总的机械能守恒。如果阻力做的功较大，不能忽略，则机械能不守恒。

【例题】 把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（图 8.4-5），摆长为 $l$ ，最大偏角为 $θ$ 。如果阻力可以忽略，小球运动到最低点时的速度大小是多少？

分析在阻力可以忽略的情况下，小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。

小球在最高点只有重力势能，动能为 0，计算小球在最高点和最低点重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能，从而算出它在最低点的速度。

解以小球为研究对象。设最低点的重力势能为 0，以小球在最高点的状态作为初状态，以小球在最低点的状态作为末状态。

在最高点的动能 $E_{k 1} = 0$ ，重力势能是：

E_{p 1} = m g (l - l \cos θ)

在最低点的重力势能 $E_{p 2} = 0$ ，而动能可以表示为：

E_{k 2} = \frac{1}{2} m v^{2}

运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即：

E_{k 2} + E_{p 2} = E_{k 1} + E_{p 1}

把初末状态下动能、重力势能的表达式代入，得：

\frac{1}{2} m v^{2} = m g (l - l \cos θ)

由此解出小球运动到最低点时的速度大小：

v = \sqrt{2 g l (1 - \cos θ)}

从得到的表达式可以看出，初状态的 $θ$ 角越大， $\cos θ$ 越小， $(1 - \cos θ)$ 就越大， $v$ 也就越大。也就是说，最初把小球拉得越高，它到达最低点时的速度也就越大。这与生活经验是一致的。

从这个例题可以看出，如果研究对象在某一过程中满足机械能守恒的条件，应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，这样就简化了计算。如果直接用牛顿定律解决问题，需要分析过程中各种力的作用，而这些力又往往在变化着。因此，一些难于用牛顿定律解决的问题，应用机械能守恒定律则有可能易于解决。^[8]

8.5 实验：验证机械能守恒定律

机械能守恒定律告诉我们，在只有重力或弹力做功的系统内，动能与势能相互转化时总的机械能保持不变。下面我们通过实验来研究物体运动过程中动能与重力势能的变化，从而验证机械能守恒定律。

实验思路

机械能守恒的前提是“只有重力或弹力做功”，因此研究过程一定要满足这一条件。想一想，满足这一条件的过程有哪些？

自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。
物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与物体位移方向垂直（图 8.5-1），对物体不做功，这种情况也满足机械能守恒的条件。
用细线悬挂的小球摆动时，细线的拉力与小球的运动方向垂直，对物体不做功。如果忽略空气阻力，这个过程中只有重力做功，也满足机械能守恒的条件。
……

你也可以考虑其他情形来验证机械能守恒定律。在设计实验时还应考虑：重物下落或小球摆动时不可能不受空气阻力的作用，斜面也会有阻力，有哪些方法可以减小阻力的影响？

物理量的测量

研究对象确定后，还需要明确所需测量的物理量和实验器材。根据重力势能和动能的定义，很自然地想到，需要测量物体的质量、物体所处位置的高度以及物体的运动速度这三个物理量。

数据分析

根据选定的实验方案设计相应的表格记录实验数据。

计算物体在选定位置上动能与势能的和是否满足：

\frac{1}{2} m v_{2}^{2} + m g h_{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h_{1}

也可以计算重物在某两点间的动能变化和势能变化是否满足：

\frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g h_{1} - m g h_{2}

本实验我们提供物体做自由落体运动及沿光滑斜面下滑这两种方案。

参考案例 1：研究自由落体物体的机械能

实验装置如图 8.5-2 所示。利用打点计时器记录重物自由下落的运动过程。

物体的质量可以用天平测出。

纸带上某两点的距离等于物体下落的高度差 $Δ h$ ，这样就能得到物体下落过程中重力势能的变化。

物体的瞬时速度可以用大家熟悉的方法从纸带测出，从而得到它在各点的动能。

比较重物在某两点间动能的变化与重力势能的变化，就能验证机械能是否守恒。^[9]

实验中需要注意的问题：

重物下落过程中，除了重力外会受到哪些阻力？怎样减少这些阻力对实验的影响？
重物下落时，最好选择哪两个位置作为过程的开始和结束的位置？

自由落体运动是匀变速直线运动。因此，也可以用一种更简单、更准确的方法测量物体下落时的瞬时速度。

如图 8.5-3，A、B、C 是记录做匀加速直线运动物体的纸带上相邻的三个点。根据学过的匀变速直线运动的规律可知，物体某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即：

v_{B} = v_{A C 平均}

图 8.5-3 B 点的瞬时速度等于 A、C 点之间的平均速度。

参考案例 2：研究沿斜面下滑物体的机械能

本案例中，我们利用气垫导轨和数字计时器记录物体沿光滑斜面下滑的运动过程。

气垫导轨上有很多小孔，气泵送来的压缩空气从小孔喷出，使滑块与导轨之间有一层薄薄的空气层，两者不会直接接触。这样，滑块运动时受到的阻力很小，实验的精确度能大大提高。

计时系统的工作要借助于光源和光敏管（统称光电门）。光源与光敏管相对，它射出的光使光敏管感光。当滑块经过时，其上的遮光条把光遮住，与光敏管相连的电子电路自动记录遮光时间，通过数码屏显示出来。根据遮光条的宽度和遮光时间，可以算出滑块经过时的速度。因为这样的计时系统可以测出 $0.001 s$ 的时间，并且能直接以数字显示，所以又叫数字毫秒计。

实验装置如图 8.5-4 所示。实验操作中，把气垫导轨调成倾斜状态，滑块沿倾斜的气垫导轨下滑时，重力势能减小，动能增大。测量滑块和遮光条的质量，用光电门测量滑块的瞬时速度。测量滑块下降的高度 $Δ h$ 和初、末速度 $v_{1}$ 、 $v_{2}$ ，就可以验证机械能是否守恒。

劳厄（Max Von Laue，1879—1960），德国物理学家，诺贝尔物理学奖获得者。 ↩︎
旁注：汽车发动机的动力通过变速箱中的齿轮传递到车轮上，传动比可以通过变速杆来改变，称为“换挡”。在平直公路上，汽车受到的阻力较小，这时就可以使用较高的挡位，在发动机功率相同的情况下使汽车获得较高的速度。 ↩︎
旁注：汽车速度越大时，空气的阻力也越大。 ↩︎
旁注：斜面是否光滑对计算“重力做的功”有影响吗？ ↩︎
旁注：严格说来，重力势能是由地球与物体所组成的“系统”共有的，而不是地球上的物体单独具有的。 ↩︎
旁注：因为动能定理适用于变力做功和曲线运动的情况，所以在解决一些实际的力学问题时，它得到了广泛的应用。 ↩︎
旁注：科学概念的力量在于它具有解释和概括一大类自然现象的能力。在这方面能量概念的作用十分突出。 ↩︎
旁注：能量是人们研究物质世界非常重要的一个物理量，是物质运动的统一量度。物体运动虽然形式各异，但是每种运动都具有相应的能量。能量及其转化将各种运动统一、联系起来。守恒定律不仅给处理问题带来方便，而且有更深刻的意义。物理世界是千变万化的，但是，人们发现有些物理量在一定条件下是守恒的，可以用这些"守恒量"来表示物理世界变化的规律，这就是守恒定律。机械能守恒定律就是其中一个。正因为自然界存在着"守恒量"，而且，某些守恒定律的适用范围很广，所以，在物理学中寻求"守恒量"已经成为物理学研究的一种重要思想方法。 ↩︎
旁注：实验时，其实可以不测量物体的质量。想一想，这是为什么？ ↩︎

第八章 机械能守恒定律

第八章机械能守恒定律