第八章教材习题

8.1 练习与应用

1. 图 8.1-5 表示物体在力 $F$ 的作用下水平发生了一段位移 $l$，分别计算这三种情形下力 $F$ 对物体做的功。设这三种情形下力 $F$ 和位移 $l$ 的大小都是一样的：$F=10\text{ N}$，$l=2\text{ m}$。角 $\theta$ 的大小如图所示。

   • 甲：$\theta ={150}^{\circ }$（力 $F$ 斜向左上方）
   • 乙：$\theta ={30}^{\circ }$（力 $F$ 斜向右下方）
   • 丙：$\theta ={30}^{\circ }$（力 $F$ 斜向右上方）

2. 用起重机把质量为 $2.0\times {10}^3\text{ kg}$ 的物体匀速地提高了 $5\text{ m}$，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？这些力做的总功是多少？

3. 一位质量为 $60\text{ kg}$ 的滑雪运动员从高为 $10\text{ m}$ 的斜坡自由下滑。如果运动员在下滑过程中受到的阻力为 $50\text{ N}$，斜坡的倾角为 ${30}^{\circ }$，运动员滑至坡底的过程中，所受的几个力做的功各是多少？这些力做的总功是多少？

4. 有一个力 $F$，它在不断增大。某人以此为条件，应用 $P=Fv$ 进行了如下推导： 根据 $P=Fv$，$F$ 增大则 $P$ 增大；又根据 $v=\frac{P}{F}$，$P$ 增大则 $v$ 增大；再根据 $F=\frac{P}{v}$，$v$ 增大则 $F$ 减小。 此人推导的结果与已知条件相矛盾。错在哪里？

5. 一台电动机工作时的输出功率是 $10\text{ kW}$，要用它匀速提升 $2.7\times {10}^4\text{ kg}$ 的货物，提升的速度将是多大？

6. 一台抽水机每秒能把 $30\text{ kg}$ 的水抽到 $10\text{ m}$ 高的水塔上，这台抽水机输出的功率至少多大？如果保持这一输出功率，半小时内能做多少功？

7. 质量为 $m$ 的汽车在平直公路上行驶，阻力 $F_{\text{阻}}$ 保持不变。当它以速度 $v$、加速度 $a$ 加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。

   • （1）汽车的加速度和速度将如何变化？说明理由。
   • （2）如果公路足够长，汽车最后的速度是多大？

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8.2 练习与应用

1. 图 8.2-7 中的几个斜面，它们的高度相同、倾角不同。让质量相同的物体沿斜面从顶端运动到底端。试根据功的定义计算沿不同斜面运动时重力做的功，它的大小与斜面的倾角是否有关系？

2. 如图 8.2-8，质量为 $m$ 的足球在地面 1 的位置被踢出后落到地面 3 的位置，在空中达到的最高点 2 的高度为 $h$。重力加速度为 $g$。

   • （1）足球由位置 1 运动到位置 2 时，重力做了多少功？足球的重力势能增加了多少？
   • （2）足球由位置 2 运动到位置 3 时，重力做了多少功？足球的重力势能减少了多少？

3. 以下说法是否正确？如果正确，说出一种可能的实际情况；如果不正确，说明这种说法为什么错误。

   • （1）物体受拉力作用向上运动，拉力做的功是 $1\text{ J}$，但物体重力势能的增加量不是 $1\text{ J}$。
   • （2）物体受拉力作用向上匀速运动，拉力做的功是 $1\text{ J}$，但物体重力势能的增加量不是 $1\text{ J}$。
   • （3）物体运动，重力做的功是 $-1\text{ J}$，但物体重力势能的增加量不是 $1\text{ J}$。
   • （4）没有摩擦时物体由 A 沿直线运动到 B，重力做的功是 $-1\text{ J}$；有摩擦时物体由 A 沿曲线运动到 B，重力做的功大于 $-1\text{ J}$。

4. 如图 8.2-9，质量为 $0.5\text{ kg}$ 的小球，从 A 点下落到地面上的 B 点，$h_1$ 为 $1.2\text{ m}$，桌面高 $h_2$ 为 $0.8\text{ m}$。

   • （1）在表格的空白处按要求填入数据。

所选择的参考平面	小球在 A 点的重力势能	小球在 B 点的重力势能	整个下落过程中小球重力做的功	整个下落过程中小球重力势能的变化量
桌面
地面

• （2）如果下落时有空气阻力，表中的数据是否会改变？

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8.3 练习与应用

1. 改变汽车的质量和速度，都可能使汽车的动能发生改变。在下列几种情况下，汽车的动能各是原来的几倍？

   • A．质量不变，速度增大到原来的 2 倍
   • B．速度不变，质量增大到原来的 2 倍
   • C．质量减半，速度增大到原来的 4 倍
   • D．速度减半，质量增大到原来的 4 倍

2. 把一辆汽车的速度从 $10\text{ km/h}$ 加速到 $20\text{ km/h}$，或者从 $50\text{ km/h}$ 加速到 $60\text{ km/h}$，哪种情况做的功比较多？通过计算说明。

3. 质量为 $8\text{ g}$ 的子弹，以 $300\text{ m/s}$ 的速度射入厚度为 $5\text{ cm}$ 的固定木板（图 8.3-5），射穿后的速度是 $100\text{ m/s}$。子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力是多大？

4. 我们曾在第四章中用牛顿运动定律解答过一个问题：民航客机机舱紧急出口的气囊是一条连接出口与地面的斜面，若斜面高 $3.2\text{ m}$，斜面长 $6.5\text{ m}$，质量为 $60\text{ kg}$ 的人沿斜面滑下时所受的阻力是 $240\text{ N}$，求人滑至底端时的速度大小。$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。请用动能定理解答。

5. 运动员把质量为 $400\text{ g}$ 的足球踢出后（图 8.3-6），某人观察它在空中的飞行情况，估计上升的最大高度是 $5\text{ m}$，在最高点的速度为 $20\text{ m/s}$。不考虑空气阻力，$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。请你根据这个估计，计算运动员踢球时对足球做的功。

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8.4 练习与应用

1. 在下面列举的各个实例中（除 A 外都不计空气阻力），哪些过程中机械能是守恒的？说明理由。

   • A．跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落
   • B．抛出的标枪在空中运动
   • C．拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升
   • D．在光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来

2. 如图 8.4-6，质量为 $m$ 的小球从光滑曲面上滑下。当它到达高度为 $h_1$ 的位置 $A$ 时，速度的大小为 $v_1$；当它继续滑下到高度为 $h_2$ 的位置 $B$ 时，速度的大小为 $v_2$。在由高度 $h_1$ 滑到高度 $h_2$ 的过程中，重力做的功为 $W$。

   • （1）根据动能定理列出方程，描述小球在 $A$、$B$ 两点间动能的关系。
   • （2）根据重力做功与重力势能的关系，把以上方程变形，以反映出小球运动过程中机械能是守恒的。

3. 质量为 $0.5\text{ kg}$ 的石块从 $10\text{ m}$ 高处以 ${30}^{\circ }$ 角斜向上方抛出（图 8.4-7），初速度 $v_0$ 的大小为 $5\text{ m/s}$。不计空气阻力，$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。

   • （1）石块落地时的速度是多大？请用机械能守恒定律和动能定理分别讨论。
   • （2）石块落地时速度的大小与下列哪些量有关，与哪些量无关？说明理由。
     • A．石块的质量
     • B．石块的初速度
     • C．石块初速度的仰角
     • D．石块抛出时的高度

4. 一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球 A 和 B，B 球的质量是 A 球的 3 倍。用手托住 B 球，当轻绳刚好被拉紧时，B 球离地面的高度是 $h$，A 球静止于地面，如图 8.4-8 所示。释放 B 球，当 B 球刚落地时，求 A 球的速度大小。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为 $g$。

5. 把质量是 $0.2\text{ kg}$ 的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至 $A$ 的位置，如图 8.4-9 甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置 $C$（图 8.4-9 乙），途中经过位置 $B$ 时弹簧正好处于自由状态。已知 $B$、$A$ 的高度差为 $0.1\text{ m}$，$C$、$B$ 的高度差为 $0.2\text{ m}$，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。

   • （1）分别说出小球由位置 $A$ 至位置 $B$、由位置 $B$ 至位置 $C$ 时，小球和弹簧的能量转化情况。
   • （2）小球处于位置 $A$ 时，弹簧的弹性势能是多少？在位置 $C$ 时，小球的动能是多少？

6. 图 8.4-10 是某城市广场喷泉喷出水柱的场景。从远处看，喷泉喷出的水柱超过了 40 层楼的高度；靠近看，喷管的直径约为 $10\text{ cm}$。请你据此估计用于给喷管喷水的电动机输出功率至少有多大？

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8.5 实验：验证机械能守恒定律

1. 利用图 8.5-2 的装置做“验证机械能守恒定律”实验。

   • （1）除带夹子的重物、纸带、铁架台（含铁夹）、打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是 $\underset{―}{}$。
     • A．交流电源 B．刻度尺 C．天平（含砝码）
   • （2）实验中，先接通电源，再释放重物，得到图 8.5-5 所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点 $A$、$B$、$C$，测得它们到起始点 $O$ 的距离分别为 $h_A$、$h_B$、$h_C$。 已知当地重力加速度为 $g$，打点计时器打点的周期为 $T$。设重物的质量为 $m$，从打 $O$ 点到打 $B$ 点的过程中，重物的重力势能变化了多少？动能变化了多少？
   • （3）很多实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，你认为原因是什么？

2. 图 8.5-6 为一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。主要实验步骤如下：

   • A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调至水平。
   • B．测出遮光条的宽度 $d$。
   • C．将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离 $l$。
   • D．释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间 $t$。
   • E．用天平称出托盘和砝码的总质量 $m$。
   • F．……
   • 回答下列问题：
     • （1）在滑块从静止释放到运动到光电门的过程中，系统的重力势能减少了多少？
     • （2）为验证机械能守恒定律，还需要测量哪个物理量？
     • （3）若要符合机械能守恒定律的结论，以上测得的物理量应该满足怎样的关系？

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第八章 复习与提高

A组

1. 一个弹性很好的橡胶球被竖直抛下，落到坚硬的水平地面上被弹回，如果回跳的高度比抛出点高 $2\text{ m}$，那么在抛出点必须以多大的速度将球向下抛出？不计空气阻力和球与地面碰撞时的能量损失。

2. 一台起重机匀加速地将质量为 $1.0\times {10}^3\text{ kg}$ 的货物从静止开始竖直吊起，在 $2\text{ s}$ 末货物的速度为 $4.0\text{ m/s}$，不计空气阻力，$g$ 取 $10{\text{ m/s}}^2$。

   • （1）求起重机在这 $2\text{ s}$ 内的输出功率。
   • （2）求起重机在 $2\text{ s}$ 末的输出功率。

3. 沿倾角为 $\theta$ 的斜面向上推一个质量为 $m$ 的木箱，推力 $F$ 与斜面平行，木箱移动的距离为 $x$，木箱与斜面间的动摩擦因数为 $\mu$，重力加速度为 $g$，请完成下述要求。

   • （1）画出题中物理情境的示意图，并画出木箱所受的各个力，用字母标明力的名称。
   • （2）写出各力做功的表达式。
   • （3）写出各力做功的代数和，即总功的表达式。
   • （4）写出合力的表达式。
   • （5）写出合力做功的表达式，并与总功的表达式加以比较。

4. 质量为 $m$ 的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的输出功率恒为 $P$，且行驶过程中受到的阻力大小一定，汽车能够达到的最大速度为 $v$。

   • （1）求行驶过程中汽车受到的阻力大小。
   • （2）当汽车的车速为 $\frac{v}{4}$ 时，求汽车的瞬时加速度的大小。

5. 从地面以 $v_0$ 的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为 $g$，以地面为重力势能的零势能面。

   • （1）求物体上升的最大高度 $h$。
   • （2）物体的重力势能为动能的一半时，求物体离地面的高度 $h_1$。
   • （3）物体的重力势能和动能相等时，求物体离地面的高度 $h_2$。
   • （4）物体的动能是重力势能的一半时，求物体离地面的高度 $h_3$。
   • （5）物体的速率为 $\frac{v_0}{2}$ 时，求物体离地面的高度 $h_4$。

6. 如图 8-1 所示，光滑水平面 $AB$ 与竖直面内的粗糙半圆形导轨在 $B$ 点相接，导轨半径为 $R$。一个质量为 $m$ 的物体将弹簧压缩至 $A$ 点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过 $B$ 点的速度为 $v_1$，之后沿半圆形导轨运动，到达 $C$ 点的速度为 $v_2$。重力加速度为 $g$。

   • （1）求弹簧压缩至 $A$ 点时的弹性势能。
   • （2）求物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功。

B组

1. 如图 8-2 所示，一质量为 $m$ 的小球，用长为 $l$ 的轻绳悬挂于 $O$ 点的正下方 $P$ 点。已知重力加速度为 $g$。

   • （1）小球在水平拉力的作用下，从 $P$ 点缓慢地移动到 $Q$ 点，求水平拉力 $F$ 做的功。
   • （2）小球在水平恒力 $F=mg$ 的作用下，从 $P$ 点运动到 $Q$ 点，求小球在 $Q$ 点的速度大小。

2. A、B 两物体的质量之比 $m_A:m_B=2:1$，它们以相同的初速度 $v_0$ 在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其 $v-t$ 图像如图 8-3 所示。此过程中，A、B 两物体受到的摩擦力做的功之比 $W_A:W_B$ 是多少？A、B 两物体受到的摩擦力之比 $F_A:F_B$ 是多少？

3. 某地有一风力发电机（图 8-4），它的叶片转动时可形成半径为 $20\text{ m}$ 的圆面。某时间内该地区的风速是 $6.0\text{ m/s}$，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为 $1.2{\text{ kg/m}}^3$，假如这个风力发电机能将此圆内 $10\mathrm{\%}$ 的空气动能转化为电能。

   • （1）求单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积。
   • （2）求单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能。
   • （3）求此风力发电机发电的功率。

4. 如图 8-5 所示，某一斜面的顶端到正下方水平面 $O$ 点的高度为 $h$，斜面与水平面平滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，滑到水平面上的 $A$ 点停下。已知小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为 $\mu$，求木块在水平面上停止点 $A$ 的位置到 $O$ 点的距离 $x$，并讨论：$x$ 与斜面倾角 $\theta$ 的大小是否有关？

5. 如图 8-6 所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为 $k$，原长为 $l$。质量为 $m$ 的铁球由弹簧的正上方 $h$ 高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为 $x$ 时，铁球下落到最低点。不计空气阻力，重力加速度为 $g$。

   • （1）铁球下落到距地面多高时动能最大？
   • （2）以上过程中弹簧弹性势能的最大值是多少？

6. 如图 8-7 所示，轻质动滑轮下方悬挂重物 A、轻质定滑轮下方悬挂重物 B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物 A、B 处于静止状态，释放后 A、B 开始运动。已知 A、B 的质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为 $g$，当 A 的位移为 $h$ 时，A 的速度有多大？

7. 某海湾水面面积约为 $1.0\times {10}^6{\text{ m}}^2$（图 8-8），现利用这个海湾修建一座水坝。若涨潮后关上水坝的闸门，可使水位保持在 $20\text{ m}$ 不变。退潮时，坝外水位降至 $18\text{ m}$。假如利用此水坝建水力发电站，且重力势能转化为电能的效率是 $50\mathrm{\%}$，试估算该电站一次退潮能发多少电能？